Номер 6, страница 215 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

6. Протон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите, через какой промежуток времени направление скорости движения протона изменится на угол $\alpha = 90^\circ$, если модуль магнитной индукции поля $B = 0,50$ мТл. Масса протона $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг.

Дано:

$\alpha = 90^\circ$

$B = 0,50 \text{ мТл} = 0,50 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

$m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$q = e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (заряд протона)

Найти:

$t - ?$

Решение:

Когда протон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, на него начинает действовать сила Лоренца $F_Л$. Эта сила всегда направлена перпендикулярно вектору скорости протона и вектору магнитной индукции. В результате сила Лоренца сообщает протону центростремительное ускорение, заставляя его двигаться по окружности. Модуль скорости при этом не изменяется.

Сила Лоренца определяется по формуле: $F_Л = qvB\sin\theta$.

Поскольку протон влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, угол $\theta$ между скоростью $v$ и индукцией $B$ равен $90^\circ$, а $\sin 90^\circ = 1$. Таким образом, $F_Л = qvB$.

Эта сила является центростремительной силой, которая определяется по второму закону Ньютона: $F_ц = m_p a_ц = \frac{m_p v^2}{R}$, где $R$ — радиус окружности.

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:

$qvB = \frac{m_p v^2}{R}$

Период обращения $T$ — это время, за которое протон совершает один полный оборот (проходит путь $2\pi R$ со скоростью $v$):

$T = \frac{2\pi R}{v}$

Из уравнения сил выразим отношение $\frac{R}{v}$: $R = \frac{m_p v}{qB} \Rightarrow \frac{R}{v} = \frac{m_p}{qB}$.

Подставим это выражение в формулу для периода:

$T = 2\pi \left(\frac{m_p}{qB}\right) = \frac{2\pi m_p}{qB}$

Заметим, что период обращения не зависит от скорости частицы и радиуса траектории.

Требуется найти промежуток времени $t$, за который направление скорости изменится на угол $\alpha = 90^\circ$. Полный оборот соответствует изменению направления скорости на $360^\circ$ и занимает время $T$. Изменение направления на $90^\circ$ составляет $\frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4}$ полного оборота. Следовательно, искомое время $t$ равно одной четверти периода:

$t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2\pi m_p}{qB} = \frac{\pi m_p}{2qB}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{3,14 \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,50 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{5,2438 \cdot 10^{-27}}{1,6 \cdot 10^{-22}} \text{ с} \approx 3,28 \cdot 10^{-5} \text{ с}$

Ответ: $t \approx 3,28 \cdot 10^{-5} \text{ с}$.