Номер 5, страница 215 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

5. Две частицы, массы которых $m_1$ и $m_2 = \frac{m_1}{16}$, движутся в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Кинетические энергии частиц одинаковые, а соотношение между радиусами траекторий, описываемых частицами, $R_2 = 2R_1$. Определите отношение модулей зарядов частиц.

Дано:

$m_2 = \frac{m_1}{16}$
$E_{k1} = E_{k2} = E_k$
$R_2 = 2R_1$

Найти:

$\frac{|q_1|}{|q_2|}$

Решение:

Когда заряженная частица движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, на нее действует сила Лоренца, которая является центростремительной силой и заставляет частицу двигаться по окружности. Согласно второму закону Ньютона:

$F_Л = F_ц$

Сила Лоренца $F_Л$ и центростремительная сила $F_ц$ определяются формулами:

$F_Л = |q|vB$

$F_ц = \frac{mv^2}{R}$

где $|q|$ — модуль заряда частицы, $v$ — ее скорость, $B$ — индукция магнитного поля, $m$ — масса частицы, $R$ — радиус траектории.

Приравнивая выражения для сил, получаем:

$|q|vB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус траектории:

$R = \frac{mv}{|q|B}$

Кинетическая энергия частицы $E_k$ связана с ее массой и скоростью соотношением:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Выразим импульс $mv$ через кинетическую энергию, чтобы исключить скорость, так как она не дана в условии:

$v^2 = \frac{2E_k}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$

$mv = m\sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{m^2 \frac{2E_k}{m}} = \sqrt{2mE_k}$

Теперь подставим полученное выражение для импульса в формулу для радиуса:

$R = \frac{\sqrt{2mE_k}}{|q|B}$

Из этой формулы выразим модуль заряда $|q|$:

$|q| = \frac{\sqrt{2mE_k}}{RB}$

Запишем выражения для модулей зарядов первой и второй частиц, учитывая, что они движутся в одном и том же магнитном поле $B$ и их кинетические энергии $E_k$ по условию одинаковы:

$|q_1| = \frac{\sqrt{2m_1E_k}}{R_1B}$

$|q_2| = \frac{\sqrt{2m_2E_k}}{R_2B}$

Найдем отношение модулей зарядов $\frac{|q_1|}{|q_2|}$, разделив одно выражение на другое:

$\frac{|q_1|}{|q_2|} = \frac{\frac{\sqrt{2m_1E_k}}{R_1B}}{\frac{\sqrt{2m_2E_k}}{R_2B}} = \frac{\sqrt{2m_1E_k}}{R_1B} \cdot \frac{R_2B}{\sqrt{2m_2E_k}} = \frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}} \cdot \frac{R_2}{R_1}$

Подставим в полученное выражение известные из условия соотношения $m_2 = \frac{m_1}{16}$ и $R_2 = 2R_1$:

$\frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1/16}} = \sqrt{16} = 4$

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{2R_1}{R_1} = 2$

Таким образом, искомое отношение равно произведению этих двух значений:

$\frac{|q_1|}{|q_2|} = 4 \cdot 2 = 8$

Ответ: 8.