Номер 4, страница 214 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

4. Маленький положительно заряженный шарик, подвешенный на лёгкой нерастяжимой непроводящей нити, движется по окружности в горизонтальной плоскости (рис. 191) в однородном магнитном поле. Как направлена сила Лоренца, действующая на шарик в момент прохождения им точки $A$:

Рис. 191

1) совпадает с положительным направлением оси $z$;

2) направлена противоположно положительному направлению оси $z$;

3) совпадает с положительным направлением оси $y$;

4) направлена противоположно положительному направлению оси $y$;

5) совпадает с положительным направлением оси $x$?

Дано:

Заряд шарика: $q > 0$
Траектория: окружность в горизонтальной плоскости (параллельной плоскости xy)
Направление движения: против часовой стрелки (если смотреть сверху, согласно пунктирной стрелке)
Точка A: на траектории в месте с отрицательной координатой x и нулевой координатой y
Магнитное поле: однородное, вектор индукции $\vec{B}$

Найти:

Направление силы Лоренца $\vec{F}_L$ в точке A.

Решение

Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, вычисляется по формуле:$$ \vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B}) $$где $q$ — заряд частицы, $\vec{v}$ — её скорость, а $\vec{B}$ — вектор магнитной индукции.Поскольку по условию заряд шарика положителен ($q > 0$), направление силы Лоренца $\vec{F}_L$ совпадает с направлением векторного произведения $\vec{v} \times \vec{B}$. Направление этого вектора определяется по правилу правой руки.

Проанализируем движение шарика в точке A:

1. Шарик движется по окружности против часовой стрелки.
2. Точка A находится на траектории, где координата $x$ отрицательна, а $y=0$.
3. Скорость $\vec{v}$ в любой точке направлена по касательной к окружности. В точке A вектор скорости будет направлен вдоль отрицательного направления оси $y$.

На рисунке вектор магнитной индукции $\vec{B}$ изображен направленным вдоль положительной оси $y$. Если это так, то в точке A векторы скорости $\vec{v}$ и магнитной индукции $\vec{B}$ оказываются антипараллельными (направлеными в противоположные стороны вдоль одной прямой). Векторное произведение антипараллельных векторов равно нулю, следовательно, сила Лоренца была бы равна нулю. Этот результат не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа, что указывает на ошибку в условии задачи (в рисунке).

Для того чтобы сила Лоренца была направлена вертикально (вдоль оси $z$), как предложено в вариантах ответа 1 и 2, необходимо, чтобы векторы $\vec{v}$ и $\vec{B}$ были перпендикулярны друг другу и лежали в горизонтальной плоскости. Поскольку в точке A вектор $\vec{v}$ направлен вдоль оси $y$, для возникновения вертикальной силы Лоренца вектор $\vec{B}$ должен быть направлен вдоль оси $x$.

Предположим, что в рисунке допущена ошибка, и вектор $\vec{B}$ на самом деле направлен вдоль положительной оси $x$. Тогда:

• Вектор скорости $\vec{v}$ направлен вдоль отрицательной оси $y$.
• Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен вдоль положительной оси $x$.

Применим правило правой руки для нахождения направления $\vec{v} \times \vec{B}$. Располагаем четыре пальца правой руки по направлению вектора скорости $\vec{v}$ (вдоль $-y$). Ладонь поворачиваем так, чтобы вектор $\vec{B}$ (вдоль $+x$) входил в нее. Отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы Лоренца. В данном случае он будет направлен вверх, то есть в положительном направлении оси $z$.

Используя единичные векторы (орты) $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ для осей $x, y, z$ соответственно, получаем:$$ \vec{v} \propto -\hat{j} $$$$ \vec{B} \propto +\hat{i} $$$$ \vec{F}_L \propto \vec{v} \times \vec{B} \propto (-\hat{j}) \times (+\hat{i}) = -(\hat{j} \times \hat{i}) $$Зная, что $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$, имеем:$$ \vec{F}_L \propto -(-\hat{k}) = +\hat{k} $$Следовательно, сила Лоренца направлена в положительном направлении оси $z$.

Ответ: совпадает с положительным направлением оси z.