Номер 429, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

429. Исследуйте функцию на четность (нечетность):

a) $f(x) = \cos3x;$

б) $g(x) = x \cdot \sin2x;$

в) $h(x) = 5x^2 + \cos x;$

г) $p(x) = \sin \frac{x}{5} - x.$

Для исследования функции на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля (то есть если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения — функция четная.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения — функция нечетная.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

Все представленные функции определены на всей числовой оси ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), поэтому их области определения симметричны относительно нуля. Проверим второе условие для каждой функции.

а) $f(x) = \cos3x$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \cos(3(-x)) = \cos(-3x)$.

Функция косинус является четной, то есть $\cos(-a) = \cos(a)$ для любого $a$. Поэтому:

$f(-x) = \cos(-3x) = \cos(3x)$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) $g(x) = x \cdot \sin2x$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$g(-x) = (-x) \cdot \sin(2(-x)) = -x \cdot \sin(-2x)$.

Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-a) = -\sin(a)$ для любого $a$. Поэтому:

$g(-x) = -x \cdot (-\sin(2x)) = x \cdot \sin(2x)$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $g(-x) = g(x)$. Следовательно, функция является четной. Это также следует из того, что данная функция является произведением двух нечетных функций: $y_1=x$ и $y_2=\sin2x$.

Ответ: функция четная.

в) $h(x) = 5x^2 + \cos x$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$h(-x) = 5(-x)^2 + \cos(-x)$.

Используем свойства четности: $(-x)^2 = x^2$ и $\cos(-x) = \cos x$.

$h(-x) = 5x^2 + \cos x$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $h(-x) = h(x)$. Следовательно, функция является четной. Это также следует из того, что данная функция является суммой двух четных функций: $y_1=5x^2$ и $y_2=\cos x$.

Ответ: функция четная.

г) $p(x) = \sin\frac{x}{5} - x$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$p(-x) = \sin(\frac{-x}{5}) - (-x) = \sin(-\frac{x}{5}) + x$.

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:

$p(-x) = -\sin(\frac{x}{5}) + x$.

Сравним полученное выражение с $-p(x)$:

$-p(x) = -(\sin\frac{x}{5} - x) = -\sin\frac{x}{5} + x$.

Видим, что $p(-x) = -p(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Это также следует из того, что данная функция является разностью двух нечетных функций: $y_1=\sin\frac{x}{5}$ и $y_2=x$.

Ответ: функция нечетная.