Номер 427, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

427. Найдите множество значений функции:

a) $y = \cos x - 5$;

б) $y = 2\sin x + 7$.

а) $y = \cos x - 5$

Чтобы найти множество значений данной функции, воспользуемся известным свойством функции косинус. Множество значений функции $f(x) = \cos x$ представляет собой отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le \cos x \le 1$

Функция $y = \cos x - 5$ получается из функции $\cos x$ путем сдвига ее графика на 5 единиц вниз. Чтобы найти новое множество значений, нужно из всех частей исходного неравенства вычесть 5:

$-1 - 5 \le \cos x - 5 \le 1 - 5$

Выполнив вычисления, получаем:

$-6 \le y \le -4$

Таким образом, множество значений функции $y = \cos x - 5$ — это отрезок $[-6; -4]$.

Ответ: $[-6; -4]$

б) $y = 2\sin x + 7$

Для нахождения множества значений этой функции начнем с множества значений функции синус. Известно, что значения функции $g(x) = \sin x$ лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Запишем это как двойное неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$

Чтобы перейти к выражению $y = 2\sin x + 7$, необходимо выполнить два преобразования: умножение на 2 и сложение с 7. Сначала умножим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot (-1) \le 2\sin x \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2\sin x \le 2$

Теперь прибавим 7 ко всем частям полученного неравенства:

$-2 + 7 \le 2\sin x + 7 \le 2 + 7$

Выполнив вычисления, получаем:

$5 \le y \le 9$

Следовательно, множество значений функции $y = 2\sin x + 7$ — это отрезок $[5; 9]$.

Ответ: $[5; 9]$