Номер 431, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

431. Верно ли, что $ \cos x > 0 $, если:

а) $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $;

б) $ x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2}) $;

в) $ x \in (\pi; \frac{3\pi}{2}) $;

г) $ x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi) $?

Для решения задачи необходимо определить знак функции косинуса на заданных интервалах. Функция $ \cos x $ положительна ($ \cos x > 0 $), когда угол $x$ находится в I или IV координатной четверти. В радианах это соответствует интервалам $ x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n) $, где $n$ — любое целое число.

а) $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $

Данный интервал соответствует первой координатной четверти. В первой четверти значения косинуса всегда положительны. Следовательно, для любого $x$ из этого интервала неравенство $ \cos x > 0 $ выполняется.

Ответ: да, верно.

б) $ x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2}) $

Этот интервал соответствует третьей координатной четверти (углы отсчитываются по часовой стрелке от 0). В третьей четверти косинус, который представляет собой абсциссу точки на единичной окружности, всегда отрицателен. Таким образом, утверждение $ \cos x > 0 $ для этого интервала неверно.

Ответ: нет, неверно.

в) $ x \in (\pi; \frac{3\pi}{2}) $

Этот интервал также соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти значения косинуса всегда отрицательны. Следовательно, неравенство $ \cos x > 0 $ не выполняется ни для одного $x$ из данного интервала.

Ответ: нет, неверно.

г) $ x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi) $

Чтобы определить, в какой четверти находятся углы из этого интервала, можно прибавить к его границам целое число периодов функции косинус ($2\pi$). Прибавим $4\pi$ (два периода), чтобы перейти в область положительных углов:

$-\frac{5\pi}{2} + 4\pi = -\frac{5\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$

$-2\pi + 4\pi = 2\pi$

Таким образом, интервал $ (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi) $ соответствует тому же сектору на единичной окружности, что и интервал $ (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) $. Этот сектор является четвертой координатной четвертью, где значения косинуса всегда положительны. Следовательно, утверждение $ \cos x > 0 $ для этого интервала верно.

Ответ: да, верно.