Номер 425, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

425. С помощью графика функции $y = \text{tg}x$ (рис. 58) определите, верно ли, что:

а) при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{4}$, значение функции равно 1;

б) числа $-\pi$ и $2\pi$ являются нулями функции;

в) $\text{tg}\frac{2\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Рис. 58

а) при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{4}$, значение функции равно 1;

Чтобы проверить это утверждение с помощью графика, найдем на оси абсцисс (оси x) точку $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка находится ровно посередине между 0 и $\frac{\pi}{2}$. Поднимем перпендикуляр от этой точки до пересечения с графиком функции $y = \text{tg}\,x$. Затем от точки пересечения проведем перпендикуляр к оси ординат (оси y). Из графика видно, что этот перпендикуляр попадает в точку $y = 1$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

б) числа $-\pi$ и $2\pi$ являются нулями функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. На графике это точки пересечения с осью абсцисс (осью x). Из графика видно, что функция пересекает ось x в точках $x = -\pi$, $x = 0$, $x = \pi$. Значит, $-\pi$ является нулем функции. Функция $y = \text{tg}\,x$ является периодической с периодом $\pi$. Это означает, что ее нули повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Все нули функции тангенса можно найти по формуле $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число. При $k = -1$ получаем $x = -\pi$. При $k = 2$ получаем $x = 2\pi$. Хотя точка $x = 2\pi$ не показана на данном участке графика, из-за периодичности функции она также будет являться нулем. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

в) $\text{tg}\frac{2\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Найдем на оси абсцисс точку $x = \frac{2\pi}{3}$. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$. Посмотрим на график функции на интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$. На этом интервале ветвь графика (которая начинается от $-\pi$ и проходит через 0) находится ниже оси абсцисс, что означает, что значения функции $y = \text{tg}\,x$ отрицательны. Число $\sqrt{3}$ является положительным ($\sqrt{3} \approx 1.732$). Поскольку в точке $x = \frac{2\pi}{3}$ функция принимает отрицательное значение, равенство $\text{tg}\frac{2\pi}{3} = \sqrt{3}$ не может быть верным. (Для справки, точное значение: $\text{tg}\frac{2\pi}{3} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{tg}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$). Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.