Номер 421, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

421. В одной системе координат постройте графики функций:

а) $f(x) = |x|;$

б) $f(x) = |x - 1|;$

в) $f(x) = |x + 2|;$

г) $f(x) = |x| - 3;$

д) $f(x) = |x| + 4;$

е) $f(x) = |x - 2| + 5.$

Для построения графиков всех заданных функций в одной системе координат мы будем использовать преобразования базового графика функции $y = |x|$. Этот базовый график представляет собой две линии (луча), выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$. Все остальные графики являются результатом сдвига (параллельного переноса) этого базового графика.

Это базовая функция модуля. График состоит из двух частей:

• $y = x$ при $x \ge 0$. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(1, 1)$.
• $y = -x$ при $x < 0$. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(-1, 1)$.

Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x|$ — это V-образная линия, состоящая из двух лучей $y=x$ (при $x \ge 0$) и $y=-x$ (при $x < 0$), с вершиной в начале координат $(0, 0)$.

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом вдоль оси Ox на 1 единицу вправо. Вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$. Форма графика (V-образная) сохраняется.

Ответ: График функции $f(x) = |x - 1|$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вершина находится в точке $(1, 0)$.

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом вдоль оси Ox на 2 единицы влево (так как $x+2 = x - (-2)$). Вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x + 2|$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 2 единицы влево. Вершина находится в точке $(-2, 0)$.

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом вдоль оси Oy на 3 единицы вниз. Вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x| - 3$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы вниз. Вершина находится в точке $(0, -3)$.

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом вдоль оси Oy на 4 единицы вверх. Вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 4)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x| + 4$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 4 единицы вверх. Вершина находится в точке $(0, 4)$.

График этой функции получается из графика $y = |x|$ с помощью двух сдвигов: на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 5 единиц вверх вдоль оси Oy. Вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 5)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x - 2| + 5$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо и на 5 единиц вверх. Вершина находится в точке $(2, 5)$.