Номер 414, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

414. С помощью рисунка 54, на котором изображен график функции, заданной на множестве $[-6; 10]$, найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) нули функции;

г) промежутки знакопостоянства функции;

д) промежутки монотонности функции;

е) наибольшее и наименьшее значения функции.

Рис. 54

а) область определения функции
Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. В условии задачи указано, что функция задана на множестве $[-6; 10]$, что также подтверждается графиком: крайние левая и правая точки графика имеют абсциссы $x=-6$ и $x=10$ соответственно.
Ответ: $D(f) = [-6; 10]$.

б) множество значений функции
Множество значений функции – это множество всех значений $y$, которые принимает функция на своей области определения. Для его нахождения нужно определить наименьшее и наибольшее значения функции по графику. Самая низкая точка графика имеет ординату $y=-4$, а самая высокая – $y=4$. Так как функция непрерывна на всей области определения, она принимает все значения между $-4$ и $4$ включительно.
Ответ: $E(f) = [-4; 4]$.

в) нули функции
Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=f(x)=0$). Графически это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. Из графика видно, что график пересекает ось абсцисс в точках, где $x = -4$, $x = 0$, $x = 4$ и $x = 9$.
Ответ: $-4; 0; 4; 9$.

г) промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак, то есть остается строго положительной или строго отрицательной.
Функция положительна ($y>0$), когда ее график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на промежутках $(-4; 0)$ и $(4; 9)$.
Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутках $[-6; -4)$, $(0; 4)$ и $(9; 10]$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-4; 0) \cup (4; 9)$; функция отрицательна при $x \in [-6; -4) \cup (0; 4) \cup (9; 10]$.

д) промежутки монотонности функции
Промежутки монотонности – это промежутки, на которых функция либо возрастает, либо убывает.
Функция возрастает, когда ее график идет вверх при движении слева направо. По графику определяем, что это происходит на промежутках $[-6; -2]$, $[0; 2]$ и $[7; 10]$.
Функция убывает, когда ее график идет вниз при движении слева направо. Это происходит на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; 7]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-6; -2]$, $[0; 2]$, $[7; 10]$; функция убывает на промежутках $[-2; 0]$, $[2; 7]$.

е) наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее и наименьшее значения функции – это, соответственно, максимальное и минимальное значения $y$ на всей области определения.
Из графика видно, что самое высокое значение, которого достигает функция, равно $4$. Это значение достигается при $x=2$ и на правом конце отрезка при $x=10$.
Самое низкое значение, которого достигает функция, равно $-4$. Это значение достигается при $x=-6$ и $x=7$.
Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = 4$; наименьшее значение функции $y_{наим} = -4$.