Номер 416, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

График этого уравнения — парабола.

Это парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке $(0; -4)$. График пересекает ось абсцисс в точках $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

Проанализируем график по пунктам:

1. пересекает ли график прямую $y = 99; x = -77$;

   Подставим $y = 99$ в уравнение: $99 = x^2 - 4 \implies x^2 = 103 \implies x = \pm\sqrt{103}$. Существуют две точки пересечения. Следовательно, график пересекает прямую $y=99$.

   Подставим $x = -77$ в уравнение: $y = (-77)^2 - 4 = 5929 - 4 = 5925$. Существует одна точка пересечения $(-77; 5925)$. Следовательно, график пересекает прямую $x=-77$.

   Ответ: да, пересекает обе прямые.

2. проходит ли график через начало координат;

   Подставим координаты начала координат $(0; 0)$ в уравнение: $0 = 0^2 - 4 \implies 0 = -4$. Равенство неверное.

   Ответ: нет, не проходит.

3. принадлежит ли графику точка А(0;–4);

   Подставим координаты точки А(0; –4) в уравнение: $-4 = 0^2 - 4 \implies -4 = -4$. Равенство верное.

   Ответ: да, принадлежит.

4. пересекает ли график ось абсцисс, если да, то в скольких точках;

   Ось абсцисс задается уравнением $y=0$. Подставим в уравнение: $0 = x^2 - 4 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.

   Ответ: да, пересекает в двух точках.

5. симметричен ли график относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат?

   Относительно оси ординат (оси y): заменим $x$ на $-x$. $y = (-x)^2 - 4 \implies y = x^2 - 4$. Уравнение не изменилось, значит, график симметричен относительно оси ординат.

   Относительно оси абсцисс (оси x): заменим $y$ на $-y$. $-y = x^2 - 4 \implies y = -x^2 + 4$. Уравнение изменилось, симметрии нет.

   Относительно начала координат: заменим $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$. $-y = (-x)^2 - 4 \implies y = -x^2 + 4$. Уравнение изменилось, симметрии нет.

   Ответ: симметричен относительно оси ординат.

Ответ: График - парабола. 1) Да, пересекает обе прямые. 2) Нет. 3) Да. 4) Да, в двух точках. 5) Симметричен относительно оси ординат.

График этого уравнения — гипербола. Его можно записать в виде $y = -12/x$.

Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях, так как коэффициент $-12$ отрицателен. Оси координат являются асимптотами для графика.

Проанализируем график по пунктам:

1. пересекает ли график прямую $y = 99; x = -77$;

   Подставим $y = 99$: $x \cdot 99 = -12 \implies x = -12/99 = -4/33$. Пересечение есть.

   Подставим $x = -77$: $-77 \cdot y = -12 \implies y = 12/77$. Пересечение есть.

   Ответ: да, пересекает обе прямые.

2. проходит ли график через начало координат;

   Подставим $(0; 0)$: $0 \cdot 0 = -12 \implies 0 = -12$. Равенство неверное. Кроме того, $x$ не может быть равен 0.

   Ответ: нет, не проходит.

3. принадлежит ли графику точка А(0;–4);

   Подставим координаты точки А(0; –4): $0 \cdot (-4) = -12 \implies 0 = -12$. Равенство неверное.

   Ответ: нет, не принадлежит.

4. пересекает ли график ось абсцисс, если да, то в скольких точках;

   Подставим $y=0$: $x \cdot 0 = -12 \implies 0 = -12$. Равенство неверное.

   Ответ: нет, не пересекает.

5. симметричен ли график относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат?

   Относительно оси ординат: $(-x)y = -12 \implies xy = 12$. Уравнение изменилось.

   Относительно оси абсцисс: $x(-y) = -12 \implies xy = 12$. Уравнение изменилось.

   Относительно начала координат: $(-x)(-y) = -12 \implies xy = -12$. Уравнение не изменилось.

   Ответ: симметричен относительно начала координат.

Ответ: График - гипербола. 1) Да, пересекает обе прямые. 2) Нет. 3) Нет. 4) Нет. 5) Симметричен относительно начала координат.

График этого уравнения — прямая. Его можно записать в виде $y = 5x - 3$.

Это линейная функция, график которой — прямая линия, пересекающая ось ординат в точке $(0; -3)$ и ось абсцисс в точке $(0.6; 0)$.

Проанализируем график по пунктам:

1. пересекает ли график прямую $y = 99; x = -77$;

   Подставим $y = 99$: $5x - 99 = 3 \implies 5x = 102 \implies x = 20.4$. Пересечение есть.

   Подставим $x = -77$: $5(-77) - y = 3 \implies -385 - y = 3 \implies y = -388$. Пересечение есть.

   Ответ: да, пересекает обе прямые.

2. проходит ли график через начало координат;

   Подставим $(0; 0)$: $5(0) - 0 = 3 \implies 0 = 3$. Равенство неверное.

   Ответ: нет, не проходит.

3. принадлежит ли графику точка А(0;–4);

   Подставим координаты точки А(0; –4): $5(0) - (-4) = 3 \implies 4 = 3$. Равенство неверное.

   Ответ: нет, не принадлежит.

4. пересекает ли график ось абсцисс, если да, то в скольких точках;

   Подставим $y=0$: $5x - 0 = 3 \implies 5x = 3 \implies x = 3/5$.

   Ответ: да, пересекает в одной точке.

5. симметричен ли график относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат?

   Прямая, не проходящая через начало координат, не может быть симметрична ни относительно осей, ни относительно начала координат (за исключением случаев, когда прямая параллельна одной из осей, что здесь не так).

   Ответ: нет, не симметричен ни относительно осей, ни относительно начала координат.

Ответ: График - прямая. 1) Да, пересекает обе прямые. 2) Нет. 3) Нет. 4) Да, в одной точке. 5) Не имеет симметрий относительно осей и начала координат.

График этого уравнения — окружность.

Это стандартное уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Проанализируем график по пунктам:

1. пересекает ли график прямую $y = 99; x = -77$;

   Максимальное и минимальное значения $y$ на окружности равны $4$ и $-4$. Прямая $y=99$ находится далеко за пределами окружности. Аналогично, значения $x$ лежат в диапазоне $[-4; 4]$. Прямая $x=-77$ также не пересекает окружность.

   Алгебраически: $y=99 \implies x^2 + 99^2 = 16 \implies x^2 = 16 - 9801 < 0$. Решений нет.

   $x=-77 \implies (-77)^2 + y^2 = 16 \implies y^2 = 16 - 5929 < 0$. Решений нет.

   Ответ: нет, не пересекает ни одну из прямых.

2. проходит ли график через начало координат;

   Подставим $(0; 0)$: $0^2 + 0^2 = 16 \implies 0 = 16$. Равенство неверное. Начало координат является центром окружности, но не принадлежит ей.

   Ответ: нет, не проходит.

3. принадлежит ли графику точка А(0;–4);

   Подставим координаты точки А(0; –4): $0^2 + (-4)^2 = 16 \implies 16 = 16$. Равенство верное.

   Ответ: да, принадлежит.

4. пересекает ли график ось абсцисс, если да, то в скольких точках;

   Подставим $y=0$: $x^2 + 0^2 = 16 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.

   Ответ: да, пересекает в двух точках.

5. симметричен ли график относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат?

   Относительно оси ординат: $(-x)^2 + y^2 = 16 \implies x^2 + y^2 = 16$. Симметричен.

   Относительно оси абсцисс: $x^2 + (-y)^2 = 16 \implies x^2 + y^2 = 16$. Симметричен.

   Относительно начала координат: $(-x)^2 + (-y)^2 = 16 \implies x^2 + y^2 = 16$. Симметричен.

   Ответ: симметричен относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат.

Ответ: График - окружность. 1) Нет. 2) Нет. 3) Да. 4) Да, в двух точках. 5) Симметричен относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат.