Номер 422, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

422. Известно, что функция $y = f(x)$ является нечетной. На рисунке 56 изображен график этой функции для $x \ge 0$. Изобразите в тетради график данной функции для $x \in [-7; 7]$. Найдите:

а) нули функции;

б) промежутки, на которых функция принимает положительные значения;

в) промежутки убывания функции.

Рис. 56

Поскольку функция $y = f(x)$ является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Это означает, что для любой точки $(x_0, y_0)$ на графике, точка $(-x_0, -y_0)$ также лежит на графике. Используя это свойство, можно достроить часть графика для $x < 0$ на основе данной части для $x \ge 0$.

Найдем симметричные точки для ключевых точек на известной части графика:

• Точка $(0, 0)$ симметрична сама себе.
• Точке локального максимума $(4, 4)$ соответствует точка локального минимума $(-4, -4)$.
• Нулю функции в точке $(6, 0)$ соответствует нуль функции в точке $(-6, 0)$.
• Концевой точке графика $(7, -5)$ соответствует точка $(-7, 5)$.

Соединив полученные точки, мысленно или в тетради, мы получаем полный график функции на отрезке $[-7; 7]$. Теперь проанализируем этот полный график.

а) нули функции

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. На графике это точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Из полного графика видно, что он пересекает ось абсцисс в трех точках.
Ответ: $-6; 0; 6$.

б) промежутки, на которых функция принимает положительные значения

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$) там, где ее график расположен выше оси абсцисс. Анализируя полный график, мы видим, что это происходит на двух промежутках. Первый – от $x = -7$ (включительно, так как $f(-7) = 5 > 0$) до $x = -6$ (не включительно, так как $f(-6) = 0$). Второй – от $x = 0$ (не включительно, так как $f(0) = 0$) до $x = 6$ (не включительно, так как $f(6) = 0$).
Ответ: $x \in [-7, -6) \cup (0, 6)$.

в) промежутки убывания функции

Функция убывает на тех промежутках, где с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается (график идет вниз, если смотреть слева направо). На полном графике можно выделить два таких промежутка. Первый – от $x = -7$ до $x = -4$, где значение функции уменьшается с $5$ до $-4$. Второй – от $x = 4$ до $x = 7$, где значение функции уменьшается с $4$ до $-5$.
Ответ: $[-7; -4]$ и $[4; 7]$.