Номер 423, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

423. Известно, что функция $y = f(x)$ является четной. На рисунке 57 изображен график этой функции для $x \ge 0$. Найдите:

а) $f(-1)$; $f(-5)$; $f(-3)$;

б) количество корней уравнения $f(x) = -2$; $f(x) = 4$;

в) все целые решения неравенства $f(x) \ge 1$; $f(x) < -3$.

Рис. 57

По условию задачи, функция $y = f(x)$ является четной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Геометрически это свойство означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси $y$).

На рисунке 57 дан график функции для $x \ge 0$. Чтобы получить полный график функции, нужно отразить данную часть графика симметрично относительно оси $y$.

Ключевые точки на графике для $x \ge 0$: $(0, 0)$, $(3, -4)$, $(5, 4)$, $(7, -5)$.

Используя свойство четности, найдем соответствующие точки для $x < 0$: $(0, 0)$ переходит в себя, $(3, -4)$ соответствует точка $(-3, -4)$, $(5, 4)$ соответствует точка $(-5, 4)$, $(7, -5)$ соответствует точка $(-7, -5)$. Область определения функции, судя по графику, является отрезком $[-7, 7]$.

а) $f(-1); f(-5); f(-3);$

Используем свойство четности функции $f(-x) = f(x)$.

• Для нахождения $f(-1)$ найдем $f(1)$. Точка с абсциссой $x=1$ лежит на отрезке прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(3, -4)$. Уравнение этой прямой: $y = kx$. Подставив координаты точки $(3, -4)$, получим: $-4 = k \cdot 3$, откуда $k = -4/3$. Таким образом, $f(x) = -\frac{4}{3}x$ на отрезке $[0, 3]$. Тогда $f(1) = -\frac{4}{3} \cdot 1 = -\frac{4}{3}$. Следовательно, $f(-1) = f(1) = -\frac{4}{3}$.

• Для нахождения $f(-5)$ найдем $f(5)$. Из графика видно, что в точке $x=5$ функция достигает своего локального максимума, и $f(5) = 4$. Следовательно, $f(-5) = f(5) = 4$.

• Для нахождения $f(-3)$ найдем $f(3)$. Из графика видно, что в точке $x=3$ функция достигает своего локального минимума, и $f(3) = -4$. Следовательно, $f(-3) = f(3) = -4$.

Ответ: $f(-1) = -4/3$; $f(-5) = 4$; $f(-3) = -4$.

б) количество корней уравнения $f(x) = -2; f(x) = 4;$

Количество корней уравнения $f(x) = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$.

• $f(x) = -2$. Проведем мысленно прямую $y = -2$.
  Для $x>0$, эта прямая пересекает график в трех точках: на участке от $x=0$ до $x=3$, на участке от $x=3$ до $x=5$ и на участке от $x=5$ до $x=7$.
  В силу симметрии графика относительно оси $y$, для $x<0$ также будет три точки пересечения.
  Всего получаем $3 + 3 = 6$ точек пересечения. Значит, уравнение имеет 6 корней.

• $f(x) = 4$. Проведем мысленно прямую $y = 4$.
  Эта прямая касается графика в точке локального максимума $(5, 4)$. Это один корень $x=5$.
  В силу симметрии, прямая также коснется графика в симметричной точке $(-5, 4)$. Это второй корень $x=-5$.
  Всего получаем 2 точки пересечения. Значит, уравнение имеет 2 корня.

Ответ: уравнение $f(x) = -2$ имеет 6 корней; уравнение $f(x) = 4$ имеет 2 корня.

в) все целые решения неравенства $f(x)\ge1; f(x)<-3.$

Будем искать целые значения $x$ на полном графике (с учетом симметрии), для которых выполняются данные неравенства.

• $f(x) \ge 1$. Нам нужно найти целые $x$, для которых значение функции больше или равно 1.
  Из графика видно, что значения $f(x) \ge 1$ достигаются вблизи вершин графика при $x=5$ и $x=-5$.
  При $x=5$, $f(5)=4$, что удовлетворяет условию $4 \ge 1$.
  При $x=-5$, $f(-5)=f(5)=4$, что удовлетворяет условию $4 \ge 1$.
  Найдем, при каких $x$ значение функции равно 1. На отрезке $[3, 5]$ уравнение прямой $y = 4x - 16$. $1 = 4x-16 \implies 4x=17 \implies x=4.25$. На отрезке $[5, 7]$ уравнение прямой $y = -4.5x + 26.5$. $1 = -4.5x+26.5 \implies 4.5x=25.5 \implies x \approx 5.67$. Таким образом, для $x>0$ неравенство $f(x) \ge 1$ выполняется на отрезке $[4.25, \approx 5.67]$. Единственное целое число в этом интервале - это $x=5$.
  В силу симметрии, для $x<0$ неравенство будет выполняться для $x \in [-5.67, -4.25]$. Единственное целое число в этом интервале - это $x=-5$.
  Целые решения: $\{-5, 5\}$.

• $f(x) < -3$. Нам нужно найти целые $x$, для которых значение функции строго меньше -3.
  Значения $f(x) < -3$ достигаются вблизи локальных минимумов при $x=3$ и $x=-3$, а также на концах области определения.
  Проверим целые значения $x$ по графику:
  При $x=3$, $f(3) = -4$, что удовлетворяет условию $-4 < -3$.
  При $x=-3$, $f(-3) = f(3) = -4$, что удовлетворяет условию $-4 < -3$.
  При $x=7$, $f(7)=-5$, что удовлетворяет условию $-5 < -3$.
  При $x=-7$, $f(-7)=f(7)=-5$, что удовлетворяет условию $-5 < -3$.
  Рассмотрим другие целые значения. Например, $f(2) = -4/3 \cdot 2 = -8/3 \approx -2.67$, что не меньше -3. $f(4)$ находится на отрезке между $(3, -4)$ и $(5, 4)$, $f(4) = 4 \cdot 4 - 16 = 0$, что не меньше -3. $f(6)$ находится на отрезке между $(5, 4)$ и $(7, -5)$, $f(6) \approx -0.5$, что не меньше -3. Из-за симметрии, то же самое будет для $x=-2, -4, -6$.
  Целые решения: $\{-7, -3, 3, 7\}$.

Ответ: целые решения неравенства $f(x)\ge1$: $\{-5, 5\}$; целые решения неравенства $f(x)<-3$: $\{-7, -3, 3, 7\}$.