Номер 426, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

426. Для функции $f(x) = \sin x$ найдите:

а) $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$;

б) $f\left(-3\pi\right)$;

в) $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)$;

г) $f\left(\frac{7\pi}{2}\right)$.

а) Чтобы найти значение функции $f(x) = \sin x$ в точке $x = \frac{\pi}{6}$, необходимо подставить это значение аргумента в функцию:
$f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})$.
Это известное табличное значение синуса, которое соответствует углу в 30 градусов.
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Чтобы найти значение функции в точке $x = -3\pi$, подставляем это значение в функцию:
$f(-3\pi) = \sin(-3\pi)$.
Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому:
$\sin(-3\pi) = -\sin(3\pi)$.
Функция синус периодична с периодом $2\pi$, поэтому можно отбросить целое число периодов.
$-\sin(3\pi) = -\sin(\pi + 2\pi) = -\sin(\pi)$.
Значение $\sin(\pi)$ равно 0.
Следовательно, $f(-3\pi) = 0$.
Ответ: $0$.

в) Чтобы найти значение функции в точке $x = \frac{5\pi}{4}$, подставляем это значение в функцию:
$f(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4})$.
Для вычисления этого значения можно использовать формулы приведения. Представим аргумент в виде суммы: $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$.
Согласно формуле приведения, $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
$\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $f(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Чтобы найти значение функции в точке $x = \frac{7\pi}{2}$, подставляем это значение в функцию:
$f(\frac{7\pi}{2}) = \sin(\frac{7\pi}{2})$.
Используем периодичность функции синус. Период равен $2\pi = \frac{4\pi}{2}$.
$\sin(\frac{7\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2})$.
Значение синуса в точке $\frac{3\pi}{2}$ (или 270°) равно $-1$.
Следовательно, $f(\frac{7\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $-1$.