Номер 432, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

432. Верно ли, что $tgx < 0$, если:

а) $x \in (0; \frac{\pi}{2});$

б) $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi);$

в) $x \in (\frac{5\pi}{2}; 3\pi);$

г) $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2})?$

Чтобы определить, верно ли, что $tg(x) < 0$, нужно выяснить, в каких координатных четвертях лежит угол $x$ для каждого из заданных интервалов. Функция тангенса отрицательна во II и IV координатных четвертях.

Область, где $tg(x) < 0$, в общем виде можно записать как $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

а) $x \in (0; \frac{\pi}{2})$

Интервал $(0; \frac{\pi}{2})$ соответствует I (первой) координатной четверти. В этой четверти все тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) положительны. Так как $sin(x) > 0$ и $cos(x) > 0$, то и $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} > 0$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет.

б) $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$

Рассмотрим границы интервала на единичной окружности. Угол $-2\pi$ соответствует точке $(1, 0)$, как и угол $0$. Угол $-\frac{5\pi}{2} = -2.5\pi = -2\pi - \frac{\pi}{2}$ соответствует той же точке, что и угол $-\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$. Таким образом, интервал углов $(-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$ соответствует IV (четвертой) координатной четверти (движение от $-\frac{5\pi}{2}$ к $-2\pi$ против часовой стрелки). В этой четверти $sin(x) < 0$ и $cos(x) > 0$, поэтому $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} < 0$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да.

в) $x \in (\frac{5\pi}{2}; 3\pi)$

Преобразуем границы интервала, чтобы определить четверть. Угол $\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ соответствует углу $\frac{\pi}{2}$. Угол $3\pi = 2\pi + \pi$ соответствует углу $\pi$. Таким образом, интервал $(\frac{5\pi}{2}; 3\pi)$ эквивалентен интервалу $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, что соответствует II (второй) координатной четверти. В этой четверти $sin(x) > 0$ и $cos(x) < 0$, поэтому $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} < 0$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да.

г) $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2})$

Интервал $(-\pi; -\frac{\pi}{2})$ соответствует III (третьей) координатной четверти. Углы лежат между $-\pi$ (точка $(-1, 0)$) и $-\frac{\pi}{2}$ (точка $(0, -1)$). В этой четверти и синус, и косинус отрицательны: $sin(x) < 0$ и $cos(x) < 0$. Поэтому их отношение, тангенс, будет положительным: $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} > 0$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет.