Номер 435, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

435. Постройте график функции $y = \sin x - 3$. Пользуясь графиком, определите:

а) промежутки монотонности функции;

б) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются;

в) нули функции;

г) множество значений функции.

Для построения графика функции $y = \sin x - 3$ необходимо взять график функции $y = \sin x$ и выполнить параллельный перенос вдоль оси ординат (оси Oy) на 3 единицы вниз. Это означает, что каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на 3 единицы вниз. Период, форма и промежутки монотонности графика остаются неизменными, а вся кривая теперь будет колебаться относительно прямой $y = -3$. Максимумы будут равны $-2$, а минимумы $-4$.

Пользуясь свойствами этого графика, определим требуемые характеристики функции.

а) промежутки монотонности функции;

Поскольку сдвиг вдоль оси Oy не меняет характер монотонности, промежутки возрастания и убывания для $y = \sin x - 3$ будут такими же, как и для $y = \sin x$.

Функция $y = \sin x$ возрастает на отрезках, где она движется от минимального значения к максимальному, и убывает на отрезках, где движется от максимального к минимальному.

Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ и убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ для всех целых $k$.

б) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются;

Наибольшее значение функции $y = \sin x$ равно 1. Для функции $y = \sin x - 3$ наибольшее значение будет $1 - 3 = -2$. Это значение достигается, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение функции $y = \sin x$ равно -1. Для функции $y = \sin x - 3$ наименьшее значение будет $-1 - 3 = -4$. Это значение достигается, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -2 и достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение функции равно -4 и достигается при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) нули функции;

Нули функции – это точки, в которых график пересекает ось абсцисс (ось Ox), то есть где $y=0$. Чтобы найти их, решим уравнение:

$\sin x - 3 = 0$

$\sin x = 3$

Множество значений функции синуса – это отрезок $[-1, 1]$. Так как $3$ не входит в этот отрезок, уравнение $\sin x = 3$ не имеет решений. Следовательно, у функции нет нулей. График функции полностью расположен ниже оси Ox.

Ответ: нулей функции нет.

г) множество значений функции.

Множество значений функции – это все возможные значения, которые может принимать $y$. Мы знаем, что для любой величины $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$

Вычитая 3 из всех частей неравенства, получаем:

$-1 - 3 \le \sin x - 3 \le 1 - 3$

$-4 \le y \le -2$

Таким образом, множество значений функции – это все числа на отрезке от -4 до -2, включая концы.

Ответ: $E(y) = [-4; -2]$.