Номер 439, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

439. Найдите производную функции, используя правила дифференцирования:

a) $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + x$;

б) $f(x) = \sqrt{x(x + 6)}$;

В) $f(x) = \frac{2x + 8}{x - 3}$.

а) $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + x$

Для нахождения производной этой функции, являющейся многочленом, воспользуемся правилами дифференцирования суммы/разности функций, правилом вынесения константы за знак производной и формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

$f'(x) = (3x^4 - 5x^2 + x)' = (3x^4)' - (5x^2)' + (x)'$.

Теперь находим производную каждого слагаемого:

$(3x^4)' = 3 \cdot (x^4)' = 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3$.

$(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x^{2-1} = 10x$.

$(x)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$.

Собираем все вместе:

$f'(x) = 12x^3 - 10x + 1$.

Ответ: $f'(x) = 12x^3 - 10x + 1$.

б) $f(x) = \sqrt{x(x+6)}$

Сначала преобразуем выражение под корнем:

$f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}$.

Эту функцию можно представить в виде степенной функции: $f(x) = (x^2 + 6x)^{1/2}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае внешняя функция $g(u) = u^{1/2}$, а внутренняя функция $h(x) = x^2 + 6x$.

Находим их производные:

$g'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

$h'(x) = (x^2 + 6x)' = 2x + 6$.

Теперь применяем цепное правило, подставляя $h(x)$ вместо $u$ в $g'(u)$:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 6x}} \cdot (2x + 6)$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{2(x+3)}{2\sqrt{x^2 + 6x}} = \frac{x+3}{\sqrt{x^2 + 6x}}$.

Выражение можно также записать в исходном виде:

$f'(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x(x+6)}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x(x+6)}}$.

в) $f(x) = \frac{2x+8}{x-3}$

Данная функция является частным двух функций. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Обозначим числитель как $u(x) = 2x+8$ и знаменатель как $v(x) = x-3$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (2x+8)' = 2$.

$v'(x) = (x-3)' = 1$.

Подставляем эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(2x+8)'(x-3) - (2x+8)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2(x-3) - (2x+8) \cdot 1}{(x-3)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$f'(x) = \frac{2x - 6 - 2x - 8}{(x-3)^2} = \frac{-14}{(x-3)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{14}{(x-3)^2}$.