Номер 445, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

445. На рисунке 61, изображен график функции $y = f(x)$. Укажите верное утверждение:

а) $f'(x_0) > 0$;

б) $f'(x_0) < 0$;

в) $f'(x_0) = 0$;

г) $f'(x_0) = -2$.

Рис. 61

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

• Если функция на интервале возрастает, то ее производная на этом интервале положительна: $f'(x) > 0$.
• Если функция на интервале убывает, то ее производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
• В точках экстремума (локальных минимумах и максимумах), где касательная к графику горизонтальна, производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

На графике, представленном на рисунке, мы видим, что в точке с абсциссой $x_0 = -2$ функция $y = f(x)$ имеет точку локального минимума. В этой точке касательная к графику параллельна оси абсцисс, то есть является горизонтальной. Это означает, что её угловой коэффициент равен 0. Таким образом, производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Теперь оценим каждое из предложенных утверждений:

а) $f'(x_0) > 0$

Данное утверждение означает, что в точке $x_0$ функция возрастает. Однако в точке $x_0 = -2$ находится минимум, где функция не возрастает и не убывает. Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: неверно.

б) $f'(x_0) < 0$

Данное утверждение означает, что в точке $x_0$ функция убывает. Это также неверно, поскольку в точке минимума $x_0 = -2$ функция не убывает (наоборот, она переходит от убывания к возрастанию).

Ответ: неверно.

в) $f'(x_0) = 0$

Данное утверждение означает, что угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен нулю. Это соответствует точке минимума, которую мы наблюдаем на графике при $x_0 = -2$. Следовательно, это утверждение верно.

Ответ: верно.

г) $f'(x_0) = -2$

Данное утверждение неверно. Как было установлено, производная в точке $x_0$ равна 0. Число $-2$ — это абсцисса точки $x_0$, а не значение производной в ней.

Ответ: неверно.