Номер 441, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

441. Решите неравенство $f'(x) \le 0$, если $f(x) = 5x^3 - 8x^2 + x$.

Для решения неравенства $f'(x) \le 0$ необходимо сначала найти производную функции $f(x) = 5x^3 - 8x^2 + x$.

Используя правила дифференцирования (производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производная суммы/разности), получаем:

$f'(x) = (5x^3 - 8x^2 + x)' = (5x^3)' - (8x^2)' + (x)' = 5 \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x + 1 = 15x^2 - 16x + 1$.

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство:

$15x^2 - 16x + 1 \le 0$.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $15x^2 - 16x + 1 = 0$. Вычислим дискриминант $\Delta$ по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$, где $a=15$, $b=-16$, $c=1$:

$\Delta = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 256 - 60 = 196$.

Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-16) - \sqrt{196}}{2 \cdot 15} = \frac{16 - 14}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

$x_2 = \frac{-(-16) + \sqrt{196}}{2 \cdot 15} = \frac{16 + 14}{30} = \frac{30}{30} = 1$.

Графиком функции $y = 15x^2 - 16x + 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как старший коэффициент $a=15 > 0$. Следовательно, неравенство $15x^2 - 16x + 1 \le 0$ выполняется для всех значений $x$, находящихся между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является замкнутый промежуток (отрезок) от $\frac{1}{15}$ до $1$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{15}, 1]$.