Номер 438, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

438. Вычислите производную функции в точках

$x = -3; 0; 1,5; 9;$:

a) $f(x) = x^2 - 2x;$

б) $f(x) = -\frac{4}{x}.$

а) Дана функция $f(x) = x^2 - 2x$.

Сначала найдем ее производную. Используя правила дифференцирования (производная разности и производная степенной функции), получаем:

$f'(x) = (x^2 - 2x)' = (x^2)' - (2x)' = 2x^{2-1} - 2x^{1-1} = 2x - 2$.

Теперь вычислим значение производной в заданных точках, подставляя значение $x$ в выражение для $f'(x)$:

• При $x = -3$:
  $f'(-3) = 2(-3) - 2 = -6 - 2 = -8$.
• При $x = 0$:
  $f'(0) = 2(0) - 2 = 0 - 2 = -2$.
• При $x = 1,5$:
  $f'(1,5) = 2 \cdot 1,5 - 2 = 3 - 2 = 1$.
• При $x = 9$:
  $f'(9) = 2 \cdot 9 - 2 = 18 - 2 = 16$.

Ответ: $f'(-3)=-8$; $f'(0)=-2$; $f'(1,5)=1$; $f'(9)=16$.

б) Дана функция $f(x) = -\frac{4}{x}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степенной: $f(x) = -4x^{-1}$. Тогда, по правилу дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (-4x^{-1})' = -4 \cdot (-1)x^{-1-1} = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в заданных точках:

• При $x = -3$:
  $f'(-3) = \frac{4}{(-3)^2} = \frac{4}{9}$.
• При $x = 0$:
  Производная в точке $x = 0$ не существует, так как знаменатель $x^2$ обращается в ноль, а деление на ноль не определено (точка $x=0$ не входит в область определения функции и ее производной).
• При $x = 1,5$:
  $f'(1,5) = \frac{4}{(1,5)^2} = \frac{4}{2,25}$. Для удобства вычислений представим $2,25$ в виде дроби: $2,25 = \frac{9}{4}$.
  $f'(1,5) = \frac{4}{9/4} = 4 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{9}$.
• При $x = 9$:
  $f'(9) = \frac{4}{9^2} = \frac{4}{81}$.

Ответ: $f'(-3)=\frac{4}{9}$; в точке $x=0$ производная не существует; $f'(1,5)=\frac{16}{9}$; $f'(9)=\frac{4}{81}$.