Номер 433, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

433. Постройте график функции:

а) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $y = \sin x + 2$;

в) $y = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$;

г) $y = \sin x - 1$;

д) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$.

а) $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$

Для построения графика функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ необходимо выполнить преобразование графика основной тригонометрической функции $y = \cos x$.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси абсцисс (оси Ox). Функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = \cos x$ и $c = \frac{\pi}{6}$.

Поскольку $c > 0$, сдвиг осуществляется вправо на $c$ единиц.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$, нужно взять график функции $y = \cos x$ и сдвинуть его на $\frac{\pi}{6}$ вправо вдоль оси Ox.

Например, ключевая точка максимума $(0, 1)$ на графике $y = \cos x$ перемещается в точку $(0 + \frac{\pi}{6}, 1)$, то есть в $(\frac{\pi}{6}, 1)$. Пересечение с осью Ox в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перемещается в точку $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, 0)$, то есть в $(\frac{2\pi}{3}, 0)$. Точка минимума $(\pi, -1)$ перемещается в точку $(\pi + \frac{\pi}{6}, -1)$, то есть в $(\frac{7\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{6}$ вправо вдоль оси Ox.

б) $y = \sin x + 2$

Для построения графика функции $y = \sin x + 2$ необходимо выполнить преобразование графика основной тригонометрической функции $y = \sin x$.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси ординат (оси Oy). Функция имеет вид $y = f(x) + d$, где $f(x) = \sin x$ и $d = 2$.

Поскольку $d > 0$, сдвиг осуществляется вверх на $d$ единиц.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sin x + 2$, нужно взять график функции $y = \sin x$ и сдвинуть его на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Например, ключевая точка $(0, 0)$ на графике $y = \sin x$ перемещается в точку $(0, 0 + 2)$, то есть в $(0, 2)$. Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перемещается в точку $(\frac{\pi}{2}, 1 + 2)$, то есть в $(\frac{\pi}{2}, 3)$. Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перемещается в точку $(\frac{3\pi}{2}, -1 + 2)$, то есть в $(\frac{3\pi}{2}, 1)$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[1, 3]$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

в) $y = \cos(x + \frac{2\pi}{3})$

Для построения графика функции $y = \cos(x + \frac{2\pi}{3})$ необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \cos x$.

Данное преобразование является сдвигом графика вдоль оси абсцисс (оси Ox). Функция имеет вид $y = f(x + c)$, где $f(x) = \cos x$ и $c = \frac{2\pi}{3}$.

Поскольку $c > 0$, сдвиг осуществляется влево на $c$ единиц.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \cos(x + \frac{2\pi}{3})$, нужно взять график функции $y = \cos x$ и сдвинуть его на $\frac{2\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox.

Например, ключевая точка максимума $(0, 1)$ на графике $y = \cos x$ перемещается в точку $(0 - \frac{2\pi}{3}, 1)$, то есть в $(-\frac{2\pi}{3}, 1)$. Пересечение с осью Ox в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перемещается в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}, 0)$, то есть в $(-\frac{\pi}{6}, 0)$. Точка минимума $(\pi, -1)$ перемещается в точку $(\pi - \frac{2\pi}{3}, -1)$, то есть в $(\frac{\pi}{3}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{2\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его сдвига на $\frac{2\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox.

г) $y = \sin x - 1$

Для построения графика функции $y = \sin x - 1$ необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \sin x$.

Данное преобразование является сдвигом графика вдоль оси ординат (оси Oy). Функция имеет вид $y = f(x) - d$, где $f(x) = \sin x$ и $d = 1$.

Сдвиг осуществляется вниз на $d$ единиц.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sin x - 1$, нужно взять график функции $y = \sin x$ и сдвинуть его на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

Например, ключевая точка $(0, 0)$ на графике $y = \sin x$ перемещается в точку $(0, 0 - 1)$, то есть в $(0, -1)$. Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перемещается в точку $(\frac{\pi}{2}, 1 - 1)$, то есть в $(\frac{\pi}{2}, 0)$. Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перемещается в точку $(\frac{3\pi}{2}, -1 - 1)$, то есть в $(\frac{3\pi}{2}, -2)$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-2, 0]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 1$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

д) $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) - 2$

Для построения графика функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) - 2$ необходимо выполнить последовательно два преобразования графика функции $y = \cos x$.

1. Горизонтальный сдвиг: сначала строим график промежуточной функции $y_1 = \cos(x + \frac{\pi}{3})$. Это график функции $y = \cos x$, сдвинутый на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox.

2. Вертикальный сдвиг: затем строим график искомой функции $y = y_1 - 2 = \cos(x + \frac{\pi}{3}) - 2$. Это график функции $y_1$, сдвинутый на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Таким образом, чтобы получить итоговый график, нужно график $y = \cos x$ сдвинуть на $\frac{\pi}{3}$ влево, а затем на 2 единицы вниз.

Преобразование ключевых точек графика $y = \cos x$ происходит так: точка $(0, 1)$ перемещается сначала в $(-\frac{\pi}{3}, 1)$, а затем в $(-\frac{\pi}{3}, 1-2) = (-\frac{\pi}{3}, -1)$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перемещается сначала в $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{\pi}{6}, 0)$, а затем в $(\frac{\pi}{6}, 0-2) = (\frac{\pi}{6}, -2)$. Точка $(\pi, -1)$ перемещается сначала в $(\pi-\frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{2\pi}{3}, -1)$, а затем в $(\frac{2\pi}{3}, -1-2) = (\frac{2\pi}{3}, -3)$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-3, -1]$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) - 2$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.