Номер 430, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

430. Найдите нули функции:

а) $y = \cos 3x;$

б) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right);$

в) $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) - 1;$

г) $y = \operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3}.$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение $y=0$.

а) $y = \cos3x$

Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:
$\cos3x = 0$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$

Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:
$\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 0$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{6} = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) - 1$

Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:
$\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0$
$\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = 1$
Общее решение уравнения $\operatorname{ctg}(t) = 1$ имеет вид $t = \operatorname{arcctg}(1) + \pi n$. Поскольку $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей уравнения:
$\frac{x}{3} = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = 3\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 3\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3}$

Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:
$\operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3} = 0$
$\operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) = -\sqrt{3}$
Общее решение уравнения $\operatorname{tg}(t) = a$ имеет вид $t = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$. Поскольку $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:
$2x - \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
Выразим $2x$:
$2x = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$2x = \frac{3\pi - 5\pi}{15} + \pi n = -\frac{2\pi}{15} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.