Номер 428, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

428. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = 5\sin8x;$

б) $y = 2,5\cos\left(x + \frac{\pi}{8}\right);$

в) $y = \sin5x - 2;$

г) $y = -1,2\cos\left(x - \frac{\pi}{15}\right) + 3,8.$

а)
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 5\sin(8x)$ воспользуемся свойством ограниченности функции синус. Область значений функции $y=\sin(\alpha)$ есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения аргумента $8x$ справедливо двойное неравенство:
$-1 \le \sin(8x) \le 1$.
Чтобы найти область значений для исходной функции $y$, умножим все части этого неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$5 \cdot (-1) \le 5\sin(8x) \le 5 \cdot 1$
$-5 \le y \le 5$.
Следовательно, наименьшее значение функции равно -5, а наибольшее - 5.
Ответ: наименьшее значение: -5, наибольшее значение: 5.

б)
Для функции $y = 2,5\cos(x + \frac{\pi}{8})$ используется свойство ограниченности функции косинус. Область значений функции $y=\cos(\alpha)$ есть отрезок $[-1, 1]$. Таким образом:
$-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{8}) \le 1$.
Умножим все части этого неравенства на 2,5 (положительное число):
$2,5 \cdot (-1) \le 2,5\cos(x + \frac{\pi}{8}) \le 2,5 \cdot 1$
$-2,5 \le y \le 2,5$.
Таким образом, наименьшее значение функции равно -2,5, а наибольшее - 2,5.
Ответ: наименьшее значение: -2,5, наибольшее значение: 2,5.

в)
Рассмотрим функцию $y = \sin(5x) - 2$. Основываясь на том, что область значений синуса - это $[-1, 1]$, имеем:
$-1 \le \sin(5x) \le 1$.
Для нахождения области значений функции $y$, вычтем 2 из всех частей неравенства:
$-1 - 2 \le \sin(5x) - 2 \le 1 - 2$
$-3 \le y \le -1$.
Наименьшее значение функции равно -3, а наибольшее - -1.
Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: -1.

г)
Для функции $y = -1,2\cos(x - \frac{\pi}{15}) + 3,8$ начнем с области значений косинуса:
$-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{15}) \le 1$.
Умножим все части неравенства на -1,2. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1,2 \cdot (-1) \ge -1,2\cos(x - \frac{\pi}{15}) \ge -1,2 \cdot 1$
$1,2 \ge -1,2\cos(x - \frac{\pi}{15}) \ge -1,2$.
Для удобства перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-1,2 \le -1,2\cos(x - \frac{\pi}{15}) \le 1,2$.
Теперь прибавим 3,8 ко всем частям неравенства, чтобы получить значения для $y$:
$-1,2 + 3,8 \le -1,2\cos(x - \frac{\pi}{15}) + 3,8 \le 1,2 + 3,8$
$2,6 \le y \le 5$.
Следовательно, наименьшее значение функции равно 2,6, а наибольшее - 5.
Ответ: наименьшее значение: 2,6, наибольшее значение: 5.