Номер 411, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

411. Найдите область определения функции $y = \sqrt[8]{6x-1} + \log_3(4-x)$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt[8]{6x - 1} + \log_3(4 - x)$ является суммой двух функций, поэтому ее область определения есть пересечение областей определения каждого из слагаемых.

1. Рассмотрим первое слагаемое: $f(x) = \sqrt[8]{6x - 1}$.

Подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае, 8-ой) должно быть неотрицательным. Таким образом, получаем первое условие:

$6x - 1 \ge 0$

Решим это линейное неравенство:

$6x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{6}$

Это условие задает промежуток $[\frac{1}{6}, +\infty)$.

2. Рассмотрим второе слагаемое: $g(x) = \log_3(4 - x)$.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Таким образом, получаем второе условие:

$4 - x > 0$

Решим это неравенство:

$4 > x$

$x < 4$

Это условие задает промежуток $(-\infty, 4)$.

3. Найдем область определения исходной функции.

Область определения функции $y$ является пересечением множеств решений, найденных в пунктах 1 и 2. Для этого решим систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge \frac{1}{6} \\ x < 4 \end{cases}$

Пересечением этих двух промежутков является полуинтервал от $\frac{1}{6}$ (включительно) до 4 (не включая). Графически это можно представить как пересечение двух лучей на числовой оси.

Следовательно, областью определения функции является промежуток $[\frac{1}{6}, 4)$.

Ответ: $[\frac{1}{6}, 4)$.