Номер 410, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

410. Из предложенных функций выпишите функции, убывающие на области определения:

а) $y = 3^x;$

б) $y = \log_{0,9}x;$

в) $y = \sqrt{x};$

г) $y = x^3;$

д) $y = -2x + 1.$

Чтобы определить, какие из предложенных функций являются убывающими на своей области определения, необходимо проанализировать каждую из них по отдельности.

а) $y = 3^x$

Это показательная функция с основанием $a = 3$. Область определения функции — множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Так как основание $a = 3 > 1$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Это также можно подтвердить с помощью производной: $y' = (3^x)' = 3^x \ln 3$. Поскольку $3^x > 0$ и $\ln 3 > 0$ для всех $x$, производная всегда положительна, что указывает на возрастание функции.

б) $y = \log_{0.9} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = 0.9$. Область определения функции — множество всех положительных действительных чисел, то есть $x \in (0; +\infty)$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения. Проверим это с помощью производной: $y' = (\log_{0.9} x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln 0.9}\right)' = \frac{1}{x \ln 0.9}$. В области определения $x > 0$, а $\ln 0.9$ является отрицательным числом, так как $0.9 < 1$. Следовательно, производная $y' < 0$ для всех $x$ из области определения, что подтверждает, что функция убывает.

в) $y = \sqrt{x}$

Это степенная функция, которую можно записать как $y = x^{1/2}$. Область определения функции — множество всех неотрицательных действительных чисел, то есть $x \in [0; +\infty)$. Данная функция является возрастающей на всей области определения. Для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$. Производная функции для $x > 0$ равна $y' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Она положительна для всех $x > 0$, что означает, что функция возрастает.

г) $y = x^3$

Это кубическая функция. Область определения — множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Функция является возрастающей на всей своей области определения. Производная функции $y' = (x^3)' = 3x^2$. Производная неотрицательна ($y' \ge 0$) для всех $x$ и обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей области определения.

д) $y = -2x + 1$

Это линейная функция вида $y=kx+b$. Область определения — множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Угловой коэффициент $k = -2$. Так как угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$), функция является убывающей на всей своей области определения. Производная функции $y' = (-2x+1)' = -2$ всегда отрицательна, что также подтверждает убывание функции.

Таким образом, проанализировав все предложенные функции, мы приходим к выводу, что убывающими на своей области определения являются функции, представленные в пунктах б) и д).

Ответ: $y = \log_{0.9} x$ и $y = -2x + 1$.