Номер 403, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

403. Среди рисунков 53, а—г выберите тот, на котором изображен график функции $y = \log_3 x$.

а) б) в) г) Рис. 53

Для того чтобы выбрать график функции $y = \log_3 x$, проанализируем её ключевые свойства и сравним их с представленными на рисунках графиками.

1. Область определения
Логарифмическая функция определена только для положительных значений своего аргумента. Для функции $y = \log_3 x$ должно выполняться условие $x > 0$. Это означает, что её график должен быть расположен полностью в правой полуплоскости (справа от оси $y$).

• График на рисунке а) изображает показательную функцию $y=3^x$, которая определена для всех действительных $x$. Он не подходит.
• График на рисунке г) изображает функцию, определенную для всех действительных $x$ (похож на $y=x^3$). Он не подходит.

Таким образом, остаются варианты б) и в), которые определены при $x>0$.

2. Монотонность функции
Свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$ зависит от её основания $a$. Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Если $0 < a < 1$, функция убывает. В нашем случае основание $a = 3$, что больше 1. Следовательно, функция $y = \log_3 x$ является возрастающей.

• График на рисунке в) изображает убывающую функцию. Он не подходит.
• График на рисунке б) изображает возрастающую функцию. Этот вариант нам подходит.

3. Проверка по контрольным точкам
Методом исключения мы определили, что искомый график — б). Для окончательного подтверждения проверим, принадлежат ли ему характерные точки функции $y = \log_3 x$:

• При $x = 1$, значение функции $y = \log_3 1 = 0$. График должен проходить через точку $(1; 0)$.
• При $x = 3$, значение функции $y = \log_3 3 = 1$. График должен проходить через точку $(3; 1)$.
• При $x = 9$, значение функции $y = \log_3 9 = \log_3(3^2) = 2$. График должен проходить через точку $(9; 2)$.

Обратившись к рисунку б), мы видим, что график проходит через все эти точки.

Таким образом, график, изображенный на рисунке б), является единственным, который удовлетворяет всем свойствам функции $y = \log_3 x$.

Ответ: б).