Номер 397, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

397. Определите, через какую из данных точек проходит график функции $y = x^{\frac{2}{3}}$:

а) $(-8; 4);$

б) $(4; 8);$

в) $(2\sqrt{2}; 2);$

г) $(2; 2\sqrt{2}).$

Для того чтобы определить, через какую из данных точек проходит график функции $y = x^{2/3}$, необходимо подставить координаты каждой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

Функция задана уравнением $y = x^{2/3}$, что эквивалентно $y = \sqrt[3]{x^2}$.

Подставим координаты $x = -8$ и $y = 4$ в уравнение функции:

$y = (-8)^{2/3} = \sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64}$

Поскольку $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.

Мы получили $4 = 4$, что является верным равенством.

Ответ: график функции проходит через эту точку.

Подставим координаты $x = 4$ и $y = 8$ в уравнение функции:

$y = 4^{2/3} = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16}$

Значение $\sqrt[3]{16}$ можно упростить как $\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$.

Мы получили $8 = 2\sqrt[3]{2}$, что является неверным равенством ($8 = \sqrt[3]{512}$, а $2\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{16}$).

Ответ: график функции не проходит через эту точку.

Подставим координаты $x = 2\sqrt{2}$ и $y = 2$ в уравнение функции:

$y = (2\sqrt{2})^{2/3}$

Сначала преобразуем основание степени: $2\sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8}$.

Теперь вычислим значение выражения: $y = (\sqrt{8})^{2/3} = (8^{1/2})^{2/3} = 8^{(1/2) \cdot (2/3)} = 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Мы получили $2 = 2$, что является верным равенством.

Ответ: график функции проходит через эту точку.

Подставим координаты $x = 2$ и $y = 2\sqrt{2}$ в уравнение функции:

$y = 2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Мы получили $2\sqrt{2} = \sqrt[3]{4}$. Преобразуем левую часть: $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$. Равенство $\sqrt{8} = \sqrt[3]{4}$ неверно. Чтобы в этом убедиться, можно возвести обе части в 6-ю степень: $(\sqrt{8})^6 = 8^3 = 512$, а $(\sqrt[3]{4})^6 = 4^2 = 16$.

Ответ: график функции не проходит через эту точку.