Номер 395, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

395. Постройте график функции:

а) $g(x) = \sqrt[4]{x}$;

б) $g(x) = \sqrt[4]{x+3}$;

в) $g(x) = \sqrt[4]{x} + 3$;

г) $g(x) = \sqrt[4]{x-2} - 3$.

Для построения графиков заданных функций мы будем использовать метод преобразований графика базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$.

Рассмотрим базовую функцию $g(x) = \sqrt[4]{x}$.

1. Область определения функции. Выражение под корнем четной степени (в данном случае, четвертой) должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, $D(g) = [0, +\infty)$.

2. Область значений функции. Арифметический корень четной степени всегда является неотрицательным числом, поэтому $g(x) \ge 0$. Таким образом, $E(g) = [0, +\infty)$.

3. Построение по точкам. Найдем несколько ключевых точек, выбирая $x$ так, чтобы из него было удобно извлекать корень четвертой степени.

• Если $x=0$, то $g(0) = \sqrt[4]{0} = 0$. Точка (0, 0).
• Если $x=1$, то $g(1) = \sqrt[4]{1} = 1$. Точка (1, 1).
• Если $x=16$, то $g(16) = \sqrt[4]{16} = 2$. Точка (16, 2).

График функции выходит из начала координат (0, 0) и плавно возрастает, проходя через найденные точки. Он расположен в первой координатной четверти.

Ответ: График функции $g(x) = \sqrt[4]{x}$ — это кривая, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1) и (16, 2), плавно поднимаясь вправо.

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt[4]{x+3}$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ с помощью параллельного переноса. Преобразование вида $f(x+c)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси абсцисс Ox. В нашем случае $c=3$, что означает сдвиг графика влево на 3 единицы.

Начальная точка графика смещается из (0, 0) в точку (0-3, 0) = (-3, 0).

Остальные точки также смещаются влево на 3 единицы:

• (1, 1) $\rightarrow$ (-2, 1)
• (16, 2) $\rightarrow$ (13, 2)

Область определения: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Ответ: График функции $g(x) = \sqrt[4]{x+3}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt[4]{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Начальная точка графика — (-3, 0).

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt[4]{x} + 3$.

График этой функции также получается из графика базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ с помощью параллельного переноса. Преобразование вида $f(x)+d$ соответствует сдвигу графика вдоль оси ординат Oy. В нашем случае $d=3$, что означает сдвиг графика вверх на 3 единицы.

Начальная точка графика смещается из (0, 0) в точку (0, 0+3) = (0, 3).

Остальные точки также смещаются вверх на 3 единицы:

• (1, 1) $\rightarrow$ (1, 4)
• (16, 2) $\rightarrow$ (16, 5)

Область определения: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 3$.

Ответ: График функции $g(x) = \sqrt[4]{x} + 3$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt[4]{x}$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Начальная точка графика — (0, 3).

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt[4]{x-2} - 3$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ с помощью двух параллельных переносов.

1. Преобразование $x \rightarrow x-2$ означает сдвиг графика вправо на 2 единицы вдоль оси Ox.

2. Преобразование $\sqrt[4]{x-2} \rightarrow \sqrt[4]{x-2} - 3$ означает сдвиг полученного графика вниз на 3 единицы вдоль оси Oy.

Таким образом, начальная точка графика смещается из (0, 0) в точку (0+2, 0-3) = (2, -3).

Остальные точки также смещаются на 2 вправо и на 3 вниз:

• (1, 1) $\rightarrow$ (1+2, 1-3) = (3, -2)
• (16, 2) $\rightarrow$ (16+2, 2-3) = (18, -1)

Область определения: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. Область значений: $y \ge -3$.

Ответ: График функции $g(x) = \sqrt[4]{x-2} - 3$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt[4]{x}$ на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз. Начальная точка графика — (2, -3).