Номер 394, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

394. Постройте график функции:

а) $f(x) = \sqrt[3]{x}$;

б) $f(x) = \sqrt[3]{x-2}$;

В) $f(x) = \sqrt[3]{x} - 2$;

Г) $f(x) = \sqrt[3]{x+3} + 1$.

а) $f(x) = \sqrt[3]{x}$

Это основная функция кубического корня. Ее график симметричен относительно начала координат (точка (0,0)). Область определения и область значений — все действительные числа.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

• При $x = -8$, $f(-8) = \sqrt[3]{-8} = -2$. Точка (-8, -2).
• При $x = -1$, $f(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1$. Точка (-1, -1).
• При $x = 0$, $f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 1$, $f(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка (1, 1).
• При $x = 8$, $f(8) = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка (8, 2).

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции. Кривая проходит через начало координат, монотонно возрастает на всей числовой оси и имеет вертикальную касательную в точке (0,0).

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ — это кривая, проходящая через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2), симметричная относительно начала координат.

б) $f(x) = \sqrt[3]{x-2}$

Этот график можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига).

Правило преобразования: график функции $y = f(x-a)$ получается сдвигом графика $y = f(x)$ на $a$ единиц вправо по оси Ох, если $a > 0$.

В нашем случае $a=2$, поэтому мы сдвигаем график $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо.

Ключевые точки базового графика смещаются:

• Точка (0, 0) переходит в точку (0+2, 0) = (2, 0).
• Точка (1, 1) переходит в точку (1+2, 1) = (3, 1).
• Точка (8, 2) переходит в точку (8+2, 2) = (10, 2).
• Точка (-1, -1) переходит в точку (-1+2, -1) = (1, -1).
• Точка (-8, -2) переходит в точку (-8+2, -2) = (-6, -2).

Центр симметрии графика смещается в точку (2, 0).

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x-2}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

в) $f(x) = \sqrt[3]{x} - 2$

Этот график также можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ с помощью параллельного переноса.

Правило преобразования: график функции $y = f(x) + b$ получается сдвигом графика $y = f(x)$ на $b$ единиц вверх по оси Оу, если $b > 0$, и на $|b|$ единиц вниз, если $b < 0$.

В нашем случае $b=-2$, поэтому мы сдвигаем график $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вниз.

Ключевые точки базового графика смещаются:

• Точка (0, 0) переходит в точку (0, 0-2) = (0, -2).
• Точка (1, 1) переходит в точку (1, 1-2) = (1, -1).
• Точка (8, 2) переходит в точку (8, 2-2) = (8, 0).
• Точка (-1, -1) переходит в точку (-1, -1-2) = (-1, -3).
• Точка (-8, -2) переходит в точку (-8, -2-2) = (-8, -4).

Центр симметрии графика смещается в точку (0, -2).

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x} - 2$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

г) $f(x) = \sqrt[3]{x+3} + 1$

Этот график можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ с помощью двух параллельных переносов: по горизонтали и по вертикали.

Правило преобразования: график функции $y = f(x-a) + b$ получается сдвигом графика $y = f(x)$ на $a$ единиц по оси Ох и на $b$ единиц по оси Оу.

В нашем случае $x+3 = x - (-3)$, значит $a=-3$. Это соответствует сдвигу на 3 единицы влево. Константа $b=1$, что соответствует сдвигу на 1 единицу вверх.

Таким образом, мы сдвигаем график $y = \sqrt[3]{x}$ на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

Ключевые точки базового графика смещаются:

• Точка (0, 0) переходит в точку (0-3, 0+1) = (-3, 1).
• Точка (1, 1) переходит в точку (1-3, 1+1) = (-2, 2).
• Точка (8, 2) переходит в точку (8-3, 2+1) = (5, 3).
• Точка (-1, -1) переходит в точку (-1-3, -1+1) = (-4, 0).
• Точка (-8, -2) переходит в точку (-8-3, -2+1) = (-11, -1).

Центр симметрии графика смещается в точку (-3, 1).

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x+3} + 1$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt[3]{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.