Номер 387, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

387. Среди рисунков 51, а—г выберите тот, на котором изображен график функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$.

а) б) в) г) Рис. 51

Для того чтобы выбрать правильный график для функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$, необходимо проанализировать ее основные свойства и сопоставить их с предложенными на рисунках а–г графиками.

Свойства функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$

1. Область определения. Корень нечетной степени (в данном случае 5-й) определен для любого действительного числа $x$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Симметрия. Проверим функцию на четность/нечетность. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt[5]{-x} = \sqrt[5]{-1 \cdot x} = \sqrt[5]{-1} \cdot \sqrt[5]{x} = -1 \cdot \sqrt[5]{x} = -f(x)$. Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3. Ключевые точки. Найдем значения функции в нескольких точках:
   - при $x=0$, $f(0)=\sqrt[5]{0}=0$. График проходит через точку $(0; 0)$.
   - при $x=1$, $f(1)=\sqrt[5]{1}=1$. График проходит через точку $(1; 1)$.
   - при $x=-1$, $f(-1)=\sqrt[5]{-1}=-1$. График проходит через точку $(-1; -1)$.
4. Монотонность. Функция $f(x) = \sqrt[5]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения.

Анализ графиков

а) На данном графике изображена убывающая функция, область определения которой ограничена положительными числами ($x>0$). Это противоречит свойствам функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$.

б) Область определения функции, изображенной на этом графике, также ограничена положительными числами ($x>0$). Это не соответствует области определения функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$.

в) Область определения функции на этом графике — неотрицательные числа ($x \ge 0$). Это также не соответствует полной области определения функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$.

г) Этот график полностью соответствует свойствам функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$:
— область определения — все действительные числа;
— график симметричен относительно начала координат (свойство нечетной функции);
— график проходит через точки $(0;0)$, $(1;1)$ и $(-1;-1)$;
— функция возрастает на всей числовой оси.
Следовательно, именно этот график представляет функцию $f(x) = \sqrt[5]{x}$.

Ответ: г.