Номер 384, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

384. Найдите наибольшее значение функции $y = x^2(x - 1)$ на отрезке $[0,5; 1]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее.

1. Исходная функция: $y = x^2(x - 1)$. Для удобства дифференцирования раскроем скобки: $y = x^3 - x^2$. Заданный отрезок: $[0,5; 1]$.

2. Найдем производную функции:

$y'(x) = (x^3 - x^2)' = 3x^2 - 2x$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0$

$3x^2 - 2x = 0$

$x(3x - 2) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

4. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[0,5; 1]$.

Точка $x_1 = 0$ не принадлежит отрезку $[0,5; 1]$, так как $0 < 0,5$.

Точка $x_2 = \frac{2}{3}$ принадлежит отрезку $[0,5; 1]$, так как $0,5 < \frac{2}{3} < 1$ (поскольку $\frac{2}{3} \approx 0,67$).

5. Вычислим значения функции в точке $x = \frac{2}{3}$ и на концах отрезка, то есть в точках $x = 0,5$ и $x = 1$.

При $x = 0,5$ (или $x = \frac{1}{2}$):

$y(0,5) = (0,5)^2(0,5 - 1) = 0,25 \cdot (-0,5) = -0,125$.

При $x = \frac{2}{3}$:

$y(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^2(\frac{2}{3} - 1) = \frac{4}{9} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{4}{27}$.

При $x = 1$:

$y(1) = 1^2(1 - 1) = 1 \cdot 0 = 0$.

6. Сравним полученные значения: $-0,125$, $-\frac{4}{27}$ и $0$.

Так как $-\frac{4}{27} \approx -0,148$, то мы сравниваем числа $-0,125$, $-0,148$ и $0$.

Наибольшее из этих значений равно $0$.

Ответ: $0$.