Номер 385, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

385. К графику функции $f(x) = 3x - x^2$ проведены две касательные. Первая касательная проведена в точке на графике с абсциссой $x_0 = 2$, вторая — в точке максимума данной функции. Найдите площадь треугольника, образованного осью ординат и этими касательными.

Для решения задачи необходимо последовательно найти уравнения двух касательных, затем найти координаты вершин треугольника, образованного этими касательными и осью ординат, и, наконец, вычислить его площадь.

Первая касательная

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 3x - x^2$. Найдем ее производную:$f'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$.
Первая касательная проведена в точке $x_0 = 2$. Вычислим значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:
$f(2) = 3 \cdot 2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$.
$f'(2) = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$.
Теперь подставим эти значения в уравнение касательной:
$y = 2 + (-1)(x - 2) = 2 - x + 2 = 4 - x$.
Таким образом, уравнение первой касательной: $y = -x + 4$.

Вторая касательная

Вторая касательная проведена в точке максимума функции. Для нахождения точки максимума необходимо найти критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies 3 - 2x = 0 \implies x = 1.5$.
Так как вторая производная $f''(x) = -2 < 0$, точка $x = 1.5$ является точкой максимума.
Найдем координаты точки касания и угловой коэффициент в этой точке:
$x_0 = 1.5$
$f(1.5) = 3 \cdot 1.5 - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25$.
$f'(1.5) = 3 - 2 \cdot 1.5 = 3 - 3 = 0$.
Уравнение второй касательной:
$y = 2.25 + 0 \cdot (x - 1.5) = 2.25$.
Таким образом, уравнение второй касательной: $y = 2.25$.

Площадь треугольника

Треугольник образован тремя прямыми: $y = -x + 4$, $y = 2.25$ и осью ординат ($x=0$). Найдем вершины этого треугольника как точки пересечения данных прямых.
1. Вершина A (пересечение двух касательных):
Решим систему уравнений:$\begin{cases} y = -x + 4 \\ y = 2.25 \end{cases}$
$-x + 4 = 2.25 \implies x = 4 - 2.25 = 1.75$.
Координаты вершины A: $(1.75, 2.25)$.
2. Вершина B (пересечение первой касательной с осью ординат):
Подставим $x=0$ в уравнение $y = -x + 4 \implies y = 4$.
Координаты вершины B: $(0, 4)$.
3. Вершина C (пересечение второй касательной с осью ординат):
Подставим $x=0$ в уравнение $y=2.25 \implies y=2.25$.
Координаты вершины C: $(0, 2.25)$.
Основание треугольника BC лежит на оси ординат. Его длина равна: $b = |y_B - y_C| = |4 - 2.25| = 1.75$.
Высота треугольника, проведенная из вершины A к основанию BC, равна абсциссе точки A: $h = 1.75$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bh$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 1.75 \cdot 1.75$.
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $1.75 = \frac{7}{4}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4} = \frac{49}{32}$.

Ответ: $\frac{49}{32}$