Номер 392, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

392. Найдите множество значений функции:

a) $f(x) = \sqrt[6]{x}-5$;

б) $f(x) = \sqrt[4]{x-1}+9$.

а) $f(x) = \sqrt[6]{x} - 5$

Чтобы найти множество значений функции, сначала определим ее область определения. Так как корень имеет четную степень (6), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$.

Теперь рассмотрим, какие значения может принимать сама функция. Выражение $\sqrt[6]{x}$ является арифметическим корнем, поэтому его значение всегда неотрицательно. Минимальное значение $\sqrt[6]{x}$ достигается при минимальном возможном значении $x$, то есть при $x=0$.

При $x=0$, $\sqrt[6]{0} = 0$.

По мере увеличения $x$, значение $\sqrt[6]{x}$ также увеличивается и может быть сколь угодно большим. Таким образом, множество значений для выражения $\sqrt[6]{x}$ — это промежуток $[0, +\infty)$.

$\sqrt[6]{x} \ge 0$

Функция $f(x)$ получается вычитанием константы 5 из выражения $\sqrt[6]{x}$. Чтобы найти множество значений $f(x)$, вычтем 5 из обеих частей неравенства:

$\sqrt[6]{x} - 5 \ge 0 - 5$

$f(x) \ge -5$

Следовательно, наименьшее значение функции равно -5, и она может принимать любые значения больше -5. Множество значений функции $E(f)$ — это промежуток $[-5, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-5, +\infty)$.

б) $f(x) = \sqrt[4]{x-1} + 9$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени (4) должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Область определения функции $D(f) = [1, +\infty)$.

Теперь определим множество значений функции. Значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно. То есть:

$\sqrt[4]{x-1} \ge 0$

Минимальное значение этого выражения достигается при наименьшем возможном значении $x$ из области определения, то есть при $x=1$.

При $x=1$, $\sqrt[4]{1-1} = \sqrt[4]{0} = 0$.

Функция $f(x)$ получается прибавлением константы 9 к выражению $\sqrt[4]{x-1}$. Чтобы найти множество значений $f(x)$, прибавим 9 к обеим частям неравенства:

$\sqrt[4]{x-1} + 9 \ge 0 + 9$

$f(x) \ge 9$

Таким образом, наименьшее значение функции равно 9, и она может принимать любые значения, которые больше или равны 9. Множество значений функции $E(f)$ — это промежуток $[9, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [9, +\infty)$.