Номер 393, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

393. Определите, какие из данных функций являются четными, а какие — нечетными:

а) $f(x) = \sqrt[6]{x};$

б) $f(x) = \sqrt[5]{x};$

в) $f(x) = \sqrt[10]{|x| - 5};$

г) $f(x) = \sqrt[7]{|x|} + 1.$

Каким свойством обладает график четной функции?

а) $f(x) = \sqrt[6]{x}$

Для того чтобы функция была четной или нечетной, ее область определения $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля. Найдем область определения данной функции. Так как корень имеет четную степень (6), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля (например, точка $x=1$ принадлежит области определения, а симметричная ей точка $x=-1$ — нет). Следовательно, функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) $f(x) = \sqrt[5]{x}$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как корень нечетной степени (5) определен для любого действительного числа. Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим функцию на четность/нечетность. Для этого найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[5]{-x} = -\sqrt[5]{x}$

Так как $f(x) = \sqrt[5]{x}$, мы получили, что $f(-x) = -f(x)$. Это условие нечетной функции.

Ответ: нечетная.

в) $f(x) = \sqrt[10]{|x|-5}$

Найдем область определения функции. Так как корень имеет четную степень (10), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $|x|-5 \ge 0$.

Решим неравенство: $|x| \ge 5$, что эквивалентно $x \le -5$ или $x \ge 5$.

Область определения $D(f) = (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Теперь проверим выполнение условия четности/нечетности, найдя $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[10]{|-x|-5}$

Поскольку $|-x| = |x|$, получаем:

$f(-x) = \sqrt[10]{|x|-5} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $f(x) = \sqrt[7]{|x|+1}$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как корень нечетной степени (7) определен для любого числа, а выражение $|x|+1$ всегда положительно ($|x| \ge 0 \Rightarrow |x|+1 \ge 1$). Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим функцию, найдя $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[7]{|-x|+1}$

Так как $|-x| = |x|$, имеем:

$f(-x) = \sqrt[7]{|x|+1} = f(x)$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

Каким свойством обладает график четной функции?

Функция $y=f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее симметричной области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Это означает, что для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику функции, точка $(-x_0, y_0)$ также принадлежит этому графику. Точки с координатами $(x_0, y_0)$ и $(-x_0, y_0)$ симметричны относительно оси ординат (оси OY). Следовательно, весь график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Ответ: график четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).