Номер 396, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

396. Степенная функция задана формулой $f(x) = x^{-\frac{4}{5}}$. Найдите:

a) $f(1)$;

б) $f(32)$;

в) $f(0.00001)$;

г) $f(\sqrt[4]{2})$.

Дана степенная функция $f(x) = x^{-\frac{4}{5}}$. Чтобы найти значения функции для заданных аргументов, необходимо подставить эти значения вместо $x$ в формулу и выполнить вычисления.

Общая формула для вычисления может быть представлена в виде $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{(\sqrt[5]{x})^4}$.

а) Чтобы найти $f(1)$, подставим $x=1$ в формулу функции:
$f(1) = 1^{-\frac{4}{5}}$
Число 1 в любой степени равно 1.
$f(1) = 1$.
Ответ: $1$.

б) Чтобы найти $f(32)$, подставим $x=32$ в формулу.
$f(32) = 32^{-\frac{4}{5}}$
Представим число 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$.
$f(32) = (2^5)^{-\frac{4}{5}}$
Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$f(32) = 2^{5 \cdot (-\frac{4}{5})} = 2^{-4}$
Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$f(32) = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

в) Чтобы найти $f(0,00001)$, подставим $x=0,00001$ в формулу.
$f(0,00001) = (0,00001)^{-\frac{4}{5}}$
Представим десятичную дробь 0,00001 в виде степени числа 10: $0,00001 = 10^{-5}$.
$f(0,00001) = (10^{-5})^{-\frac{4}{5}}$
Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$f(0,00001) = 10^{(-5) \cdot (-\frac{4}{5})} = 10^4$
$f(0,00001) = 10000$.
Ответ: $10000$.

г) Чтобы найти $f(\sqrt[4]{2})$, подставим $x=\sqrt[4]{2}$ в формулу.
Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$.
$f(\sqrt[4]{2}) = f(2^{\frac{1}{4}}) = (2^{\frac{1}{4}})^{-\frac{4}{5}}$
Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$f(\sqrt[4]{2}) = 2^{\frac{1}{4} \cdot (-\frac{4}{5})} = 2^{-\frac{4}{20}} = 2^{-\frac{1}{5}}$
Используя свойство отрицательной степени и определение степени с рациональным показателем:
$2^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{2}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$.