Номер 390, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

390. Для функции $f(x) = \sqrt[4]{x}$ найдите значение аргумента, при котором значение функции равно $0$; $1$; $\frac{1}{3}$; $\sqrt[4]{7}$; $\sqrt[4]{2}$. Может ли данная функция принимать значение, равное $-16$?

Дана функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$. Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция принимает заданное значение $y$, необходимо решить уравнение $\sqrt[4]{x} = y$. Для этого нужно возвести обе части уравнения в четвертую степень: $(\sqrt[4]{x})^4 = y^4$, что дает $x = y^4$.

1. Если значение функции равно 0:
$f(x) = 0 \implies \sqrt[4]{x} = 0$
Возводим обе части в четвертую степень:
$x = 0^4 = 0$
Ответ: $x=0$.

2. Если значение функции равно 1:
$f(x) = 1 \implies \sqrt[4]{x} = 1$
Возводим обе части в четвертую степень:
$x = 1^4 = 1$
Ответ: $x=1$.

3. Если значение функции равно $\frac{1}{3}$:
$f(x) = \frac{1}{3} \implies \sqrt[4]{x} = \frac{1}{3}$
Возводим обе части в четвертую степень:
$x = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$
Ответ: $x=\frac{1}{81}$.

4. Если значение функции равно $\sqrt[4]{7}$:
$f(x) = \sqrt[4]{7} \implies \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{7}$
Из равенства корней следует равенство подкоренных выражений:
$x = 7$
Ответ: $x=7$.

5. Если значение функции равно $\sqrt[4]{2}$:
$f(x) = \sqrt[4]{2} \implies \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{2}$
Из равенства корней следует равенство подкоренных выражений:
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

Может ли данная функция принимать значение, равное -16?
Функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ представляет собой арифметический корень четвертой степени. По определению, арифметический корень четной степени из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Область значений данной функции — это множество всех неотрицательных чисел, то есть $f(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$).
Поскольку $-16$ является отрицательным числом, функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ не может принимать такое значение.
Ответ: нет, не может.