Номер 399, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

399. Изобразите схематически график функции:

a)

$f(x) = x^{0.5}$

б)

$g(x) = x^{-\frac{7}{3}}$

а) Функция $f(x) = x^{0,5}$ эквивалентна функции $f(x) = \sqrt{x}$. Это степенная функция с показателем $p=0,5$.
Для построения схематического графика проанализируем ее свойства:
1. Область определения: Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то $x \ge 0$. Область определения $D(f) = [0, +\infty)$.
2. Область значений: Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому $f(x) \ge 0$. Область значений $E(f) = [0, +\infty)$. Весь график будет расположен в первой координатной четверти.
3. Ключевые точки: Найдем несколько точек, принадлежащих графику:
- При $x=0$, $f(0) = \sqrt{0} = 0$. График начинается в начале координат, точке (0, 0).
- При $x=1$, $f(1) = \sqrt{1} = 1$. График проходит через точку (1, 1).
- При $x=4$, $f(4) = \sqrt{4} = 2$. График проходит через точку (4, 2).
4. Монотонность и выпуклость: Функция является возрастающей на всей области определения. График функции является выпуклым вверх (вогнутым).
Схематически, график представляет собой ветвь параболы $y^2=x$, которая выходит из начала координат и плавно поднимается вверх и вправо.

Ответ: Схематический график функции $f(x) = x^{0,5}$ — это кривая, расположенная в первой координатной четверти, которая начинается в точке (0, 0), непрерывно возрастает, проходит через точку (1, 1) и является выпуклой вверх.

б) Функцию $g(x) = x^{-\frac{7}{3}}$ можно представить в виде $g(x) = \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^7}}$. Это степенная функция с отрицательным показателем $p = -\frac{7}{3}$.
Проанализируем ее свойства:
1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$. Поскольку корень кубический (нечетной степени), подкоренное выражение может быть отрицательным. Таким образом, область определения $D(g) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Четность: Проверим функцию на четность: $g(-x) = (-x)^{-\frac{7}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(-x)^7}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-x^7}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{x^7}} = -g(x)$. Функция нечетная, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.
3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$. Когда $x$ стремится к нулю справа ($x \to 0^+$), $g(x) \to +\infty$. Когда $x$ стремится к нулю слева ($x \to 0^-$), $g(x) \to -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$. Когда $x \to \pm\infty$, $g(x) \to 0$.
4. Ключевые точки:
- При $x=1$, $g(1) = 1^{-\frac{7}{3}} = 1$. График проходит через точку (1, 1).
- В силу нечетности, при $x=-1$, $g(-1) = -1$. График проходит через точку (-1, -1).
5. Монотонность и выпуклость: Функция убывает на обоих интервалах своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. На интервале $(0, +\infty)$ график выпуклый вниз. На интервале $(-\infty, 0)$ график выпуклый вверх.
Схематически график состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: Схематический график функции $g(x) = x^{-\frac{7}{3}}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Одна ветвь расположена в первой четверти, проходит через точку (1, 1) и имеет оси координат в качестве асимптот. Вторая ветвь расположена в третьей четверти, проходит через точку (-1, -1) и также асимптотически приближается к осям координат.