Номер 405, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

405. Логарифмическая функция задана формулой $f(x) = \log_5 x$. Найдите:

а) $f(1)$;

б) $f(5)$;

в) $f(\sqrt{5})$;

г) $f(25\sqrt[4]{5})$;

д) $f(0,2)$;

е) $f\left(\frac{1}{5\sqrt[3]{5}}\right)$.

а) Находим $f(1) = \log_5 1$. По определению логарифма, нам нужно найти степень, в которую следует возвести основание 5, чтобы получить 1. Так как любое число, отличное от нуля, в нулевой степени равно единице ($5^0 = 1$), то искомое значение равно 0.
Ответ: 0

б) Находим $f(5) = \log_5 5$. По определению логарифма, нам нужно найти степень, в которую следует возвести основание 5, чтобы получить 5. Так как $5^1 = 5$, то искомое значение равно 1.
Ответ: 1

в) Находим $f(\sqrt{5}) = \log_5 \sqrt{5}$. Представим $\sqrt{5}$ как степень с основанием 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. Тогда $\log_5 \sqrt{5} = \log_5(5^{\frac{1}{2}})$. По свойству логарифма $\log_a(a^p) = p$, получаем $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Находим $f(25\sqrt[4]{5}) = \log_5(25\sqrt[4]{5})$. Преобразуем аргумент логарифма, представив его в виде степени с основанием 5. Так как $25=5^2$ и $\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}$, то $25\sqrt[4]{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 5^{2+\frac{1}{4}} = 5^{\frac{9}{4}}$. Теперь вычисляем логарифм: $\log_5(5^{\frac{9}{4}}) = \frac{9}{4}$.
Ответ: $\frac{9}{4}$

д) Находим $f(0,2) = \log_5 0,2$. Представим 0,2 в виде степени с основанием 5. Сначала запишем 0,2 как обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $\log_5 0,2 = \log_5(5^{-1}) = -1$.
Ответ: -1

е) Находим $f\left(\frac{1}{5\sqrt[3]{5}}\right) = \log_5\left(\frac{1}{5\sqrt[3]{5}}\right)$. Преобразуем аргумент логарифма. Сначала упростим знаменатель: $5\sqrt[3]{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 5^{1+\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{3}}$. Тогда весь аргумент равен $\frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = 5^{-\frac{4}{3}}$. Теперь вычисляем логарифм: $\log_5(5^{-\frac{4}{3}}) = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $-\frac{4}{3}$