Номер 409, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

409. Из предложенных функций выберите все четные функции:

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = \cos x;$

в) $y = \operatorname{tg} x;$

г) $y = x^6;$

д) $y = 4^x$.

Функция $y = f(x)$ называется четной, если она удовлетворяет двум условиям:
1. Область определения функции симметрична относительно начала координат. Это означает, что если точка $x$ принадлежит области определения, то и точка $-x$ также ей принадлежит.
2. Для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этим условиям.

а) $y = \log_2 x$
Область определения этой функции — $D(y) = (0; +\infty)$, так как аргумент логарифма должен быть строго положительным. Эта область не является симметричной относительно нуля (например, $2 \in D(y)$, а $-2 \notin D(y)$). Первое условие не выполняется, следовательно, функция не является четной.
Ответ: не является четной.

б) $y = \cos x$
Область определения функции косинус — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
Проверим второе условие: $f(-x) = \cos(-x)$. Согласно свойствам тригонометрических функций, $\cos(-x) = \cos x$. Таким образом, $f(-x) = f(x)$.
Оба условия выполняются, значит, функция является четной.
Ответ: является четной.

в) $y = \text{tg}x$
Область определения функции тангенс: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля.
Проверим второе условие: $f(-x) = \text{tg}(-x)$. Согласно свойствам тригонометрических функций, $\text{tg}(-x) = -\text{tg}x$. Таким образом, $f(-x) = -f(x)$, что является признаком нечетной функции.
Функция не является четной.
Ответ: не является четной.

г) $y = x^6$
Область определения степенной функции с натуральным показателем — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
Проверим второе условие: $f(-x) = (-x)^6$. Поскольку показатель степени 6 является четным числом, $(-x)^6 = x^6$. Таким образом, $f(-x) = f(x)$.
Оба условия выполняются, значит, функция является четной.
Ответ: является четной.

д) $y = 4^x$
Область определения показательной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
Проверим второе условие: $f(-x) = 4^{-x} = \frac{1}{4^x}$. Равенство $f(-x)=f(x)$ принимает вид $\frac{1}{4^x} = 4^x$, что неверно для большинства значений $x$ (например, при $x=1$ получаем $\frac{1}{4} \neq 4$).
Функция не является четной.
Ответ: не является четной.

Итак, из предложенного списка четными являются функции б) $y = \cos x$ и г) $y = x^6$.