Номер 413, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

413. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Нули функции

Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять $f(x)$ к нулю и решить получившееся уравнение:
$f(x) = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$
Ответ: нули функции: $x=1$, $x=3$.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительный или отрицательный).
Данная функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Нули функции ($x=1$ и $x=3$) — это точки, в которых парабола пересекает ось абсцисс. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция будет принимать положительные значения ($f(x) > 0$) на интервалах, где график находится выше оси абсцисс, и отрицательные значения ($f(x) < 0$) на интервале, где график находится ниже оси абсцисс.
Таким образом:
- Функция положительна на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(3; +\infty)$.
- Функция отрицательна на интервале $(1; 3)$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (1; 3)$.