Номер 402, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

402. Функция задана формулой $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}$.

а) Найдите область определения и множество значений данной функции.

б) Постройте график данной функции.

в) Найдите $f(1)$; $f(-2)$; $f(1,5)$.

г) Определите, в каких точках график функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс; ось ординат.

д) Найдите абсциссу точки пересечения графика данной функции и прямой $y = \sqrt{2}$.

е) Найдите наименьшее и наибольшее значения данной функции на отрезке $[-2; 3]$.

ж) Найдите корень уравнения $f(x) = \sqrt[5]{2}$.

з) Решите неравенство $f(x) < 0,125$.

а) Найдите область определения и множество значений данной функции.

Дана функция $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}$.

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Показательная функция определена для любого действительного значения показателя степени. В данном случае показатель степени $x-2$ определен для любого $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые может принимать функция. Так как основание степени $\frac{1}{2}$ является положительным числом, то и значение функции $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}$ всегда будет положительным, то есть $f(x) > 0$ для любого $x$ из области определения.

Следовательно, множество значений функции: $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(f) = (0; +\infty)$.

б) Постройте график данной функции.

График функции $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}$ можно получить из графика функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ путем сдвига вдоль оси абсцисс на 2 единицы вправо. Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей. Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой графика.

Для построения графика найдем несколько точек:

• При $x=0$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{0-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$. Точка $(0, 4)$.
• При $x=1$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{1-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$. Точка $(1, 2)$.
• При $x=2$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{2-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1$. Точка $(2, 1)$.
• При $x=3$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5$. Точка $(3, 0.5)$.
• При $x=4$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{4-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 0.25$. Точка $(4, 0.25)$.

График представляет собой кривую, проходящую через эти точки, убывающую на всей области определения и приближающуюся к оси $Ox$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции — это убывающая показательная кривая, являющаяся графиком функции $y=(1/2)^x$, сдвинутым на 2 единицы вправо. Горизонтальная асимптота $y=0$. График проходит, например, через точки $(0,4)$, $(1,2)$, $(2,1)$ и $(3, 0.5)$.

в) Найдите $f(1); f(-2); f(1,5)$.

Подставим соответствующие значения $x$ в формулу функции $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}$:

$f(1) = \left(\frac{1}{2}\right)^{1-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$.

$f(-2) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16$.

$f(1.5) = \left(\frac{1}{2}\right)^{1.5-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-0.5} = (2^{-1})^{-0.5} = 2^{0.5} = \sqrt{2}$.

Ответ: $f(1) = 2; f(-2) = 16; f(1.5) = \sqrt{2}$.

г) Определите, в каких точках график функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс; ось ординат.

Пересечение с осью абсцисс (осью $Ox$):
Для этого нужно решить уравнение $f(x)=0$, то есть $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} = 0$. Показательная функция с положительным основанием никогда не равна нулю, поэтому у этого уравнения нет решений. График не пересекает ось абсцисс.

Пересечение с осью ординат (осью $Oy$):
Для этого нужно найти значение функции при $x=0$:
$f(0) = \left(\frac{1}{2}\right)^{0-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$.
Точка пересечения с осью ординат имеет координаты $(0, 4)$.

Ответ: График не пересекает ось абсцисс; пересекает ось ординат в точке $(0, 4)$.

д) Найдите абсциссу точки пересечения графика данной функции и прямой $y = \sqrt{2}$.

Для нахождения точки пересечения нужно решить уравнение $f(x) = \sqrt{2}$:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} = \sqrt{2}$.
Представим обе части уравнения как степени с основанием 2:
$(2^{-1})^{x-2} = 2^{\frac{1}{2}}$
$2^{-(x-2)} = 2^{\frac{1}{2}}$
$2^{-x+2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Приравняем показатели степеней:
$-x+2 = \frac{1}{2}$
$2 - \frac{1}{2} = x$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: Абсцисса точки пересечения равна $1.5$.

е) Найдите наименьшее и наибольшее значения данной функции на отрезке [-2; 3].

Функция $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}$ является убывающей на всей своей области определения, так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$. Следовательно, на отрезке $[-2; 3]$ наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(-2) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16$.

Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(3) = \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: Наименьшее значение на отрезке $[-2; 3]$ равно $0.5$, наибольшее — $16$.

ж) Найдите корень уравнения $f(x) = \sqrt[5]{2}$.

Нужно решить уравнение $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} = \sqrt[5]{2}$.
Представим обе части уравнения как степени с основанием 2:
$(2^{-1})^{x-2} = 2^{\frac{1}{5}}$
$2^{-x+2} = 2^{\frac{1}{5}}$.
Приравняем показатели степеней:
$-x+2 = \frac{1}{5}$
$x = 2 - \frac{1}{5}$
$x = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$.

Ответ: Корень уравнения $x = 1.8$.

з) Решите неравенство $f(x) < 0.125$.

Нужно решить неравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} < 0.125$.
Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Представим $\frac{1}{8}$ как степень с основанием $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$.
Неравенство принимает вид:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} < \left(\frac{1}{2}\right)^3$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x-2 > 3$
$x > 3 + 2$
$x > 5$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.