Номер 401, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

401. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке 52:

а) $y = x^3$;

б) $y = 3^x$;

в) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$;

г) $y = \frac{x}{3}$.

Рис. 52

Для того чтобы выбрать правильную функцию, график которой изображен на рисунке, необходимо проанализировать свойства этого графика и сопоставить их со свойствами каждой из предложенных функций.

Определим ключевые характеристики графика на рисунке 52. Во-первых, график проходит через точку с координатами $(0, 1)$. Во-вторых, график является возрастающим: с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается. Также можно проверить другие точки: при $x=1$ значение $y=3$, а при $x=2$ значение $y=9$. График функции — это кривая, а не прямая линия.

Теперь рассмотрим каждую из предложенных функций:

а) $y = x^3$;

Это кубическая функция. Проверим, проходит ли ее график через точку $(0, 1)$. При $x=0$ имеем $y = 0^3 = 0$. График этой функции проходит через начало координат $(0, 0)$, а не через $(0, 1)$. Следовательно, эта функция не подходит.

б) $y = 3^x$;

Это показательная функция. Проверим ее по точкам. При $x=0$ получаем $y = 3^0 = 1$. Точка $(0, 1)$ принадлежит графику, что соответствует рисунку. При $x=1$ получаем $y = 3^1 = 3$. Точка $(1, 3)$ принадлежит графику, что соответствует рисунку. При $x=2$ получаем $y = 3^2 = 9$. Точка $(2, 9)$ принадлежит графику, что также соответствует рисунку. Поскольку основание степени $a=3$ больше 1 ($a > 1$), функция является возрастающей, что полностью совпадает с видом графика. Таким образом, эта функция является правильным выбором.

в) $y = (\frac{1}{3})^x$;

Это показательная функция. При $x=0$ имеем $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Точка $(0, 1)$ принадлежит графику. Однако, основание степени $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, поэтому функция должна быть убывающей. На рисунке же изображена возрастающая функция. Следовательно, эта функция не подходит.

г) $y = \frac{x}{3}$.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. График на рисунке является кривой, а не прямой. Кроме того, при $x=0$ имеем $y = \frac{0}{3} = 0$, то есть график проходит через точку $(0, 0)$, а не $(0, 1)$. Следовательно, эта функция не подходит.

Сравнив все варианты, мы приходим к выводу, что график на рисунке 52 соответствует функции из пункта б).

Ответ: б)