Номер 381, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

381. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки минимума и максимума функции $f(t) = x^3 - 6x^2 - 15x + 8$.

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки минимума и максимума функции $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 8$, необходимо исследовать ее первую производную.

1. Находим производную функции.

Производная функции $f(x)$ находится по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 15x + 8)' = 3x^2 - 12x - 15$.

2. Находим критические точки.

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Поскольку производная $f'(x)$ является многочленом, она определена для всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$3x^2 - 12x - 15 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Это и есть критические точки функции.

3. Определяем знаки производной на интервалах.

Критические точки $x = -1$ и $x = 5$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 5)$ и $(5, +\infty)$. Определим знак производной $f'(x)$ на каждом из этих интервалов.

• На интервале $(-\infty, -1)$, например при $x = -2$:
$f'(-2) = 3(-2)^2 - 12(-2) - 15 = 12 + 24 - 15 = 21 > 0$, значит, функция возрастает.

• На интервале $(-1, 5)$, например при $x = 0$:
$f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) - 15 = -15 < 0$, значит, функция убывает.

• На интервале $(5, +\infty)$, например при $x = 6$:
$f'(6) = 3(6)^2 - 12(6) - 15 = 108 - 72 - 15 = 21 > 0$, значит, функция возрастает.

промежутки возрастания и убывания

На основе знаков производной и с учетом непрерывности функции в критических точках, делаем вывод о промежутках монотонности:

• Функция возрастает на тех промежутках, где $f'(x) \ge 0$. Это $(-\infty, -1]$ и $[5, +\infty)$.

• Функция убывает на том промежутке, где $f'(x) \le 0$. Это $[-1, 5]$.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[5, +\infty)$; промежуток убывания: $[-1, 5]$.

точки минимума и максимума

Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет свой знак.

• В точке $x = -1$ знак производной меняется с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума.

• В точке $x = 5$ знак производной меняется с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

Таким образом, $x_{max} = -1$ является точкой максимума, а $x_{min} = 5$ — точкой минимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -1$, точка минимума $x_{min} = 5$.