Номер 376, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

376. Касательная к кривой $y = -3x^2 + 2\sqrt{3}x + 6$ образует с осью абсцисс угол $60^\circ$. Найдите абсциссу точки касания.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение в этой точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в данной точке. Угловой коэффициент $k$ касательной, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

По условию задачи, угол наклона касательной к оси абсцисс равен 60°. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(\alpha) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$

Теперь найдем производную функции $y = -3x^2 + 2\sqrt{3}x + 6$. Обозначим абсциссу точки касания как $x_0$. Значение производной в этой точке $y'(x_0)$ должно быть равно угловому коэффициенту $k$.

Производная функции $y(x)$:

$y'(x) = (-3x^2 + 2\sqrt{3}x + 6)' = -3 \cdot (x^2)' + 2\sqrt{3} \cdot (x)' + (6)' = -3 \cdot 2x + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 0 = -6x + 2\sqrt{3}$

Теперь приравняем значение производной в точке $x_0$ к найденному угловому коэффициенту $k$ и решим уравнение относительно $x_0$:

$y'(x_0) = k$

$-6x_0 + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить $x_0$:

$-6x_0 = \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

$-6x_0 = -\sqrt{3}$

Теперь найдем $x_0$:

$x_0 = \frac{-\sqrt{3}}{-6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Таким образом, абсцисса точки касания равна $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$