Номер 371, страница 214 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

371. На рисунке 50 изображен график функции $y = f(x)$. Укажите верное утверждение:

а) $f'(x_0) > 0$;

б) $f'(x_0) < 0$;

в) $f'(x_0) = 0$;

г) $f'(x_0) = 2$.

Рис. 50

Для определения верного утверждения воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$.

• Если функция в точке $x_0$ возрастает, касательная направлена вверх (образует острый угол с положительным направлением оси $x$), и $f'(x_0) > 0$.
• Если функция в точке $x_0$ убывает, касательная направлена вниз (образует тупой угол с положительным направлением оси $x$), и $f'(x_0) < 0$.
• Если в точке $x_0$ находится точка экстремума (локальный минимум или максимум), касательная горизонтальна, и $f'(x_0) = 0$.

На представленном графике (Рис. 50) точка $x_0$ имеет координату $-5$. В этой точке, при движении слева направо (с увеличением $x$), значение функции $y$ уменьшается. Это означает, что функция $f(x)$ в точке $x_0$ убывает. Следовательно, производная функции в этой точке должна быть отрицательной: $f'(x_0) < 0$.

Проанализируем каждое из предложенных утверждений:

Это утверждение означает, что функция в точке $x_0$ возрастает. Однако на графике видно, что в точке $x_0 = -5$ функция убывает. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

Это утверждение означает, что функция в точке $x_0$ убывает. Это полностью соответствует поведению функции на графике в точке $x_0 = -5$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

Это утверждение означает, что в точке $x_0$ касательная к графику горизонтальна, что характерно для точек локального экстремума. В точке $x_0 = -5$ функция очевидно убывает, а не достигает минимума или максимума. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

Это утверждение является частным случаем утверждения а), так как $2 > 0$. Оно неверно, потому что, как мы установили, производная в точке $x_0$ должна быть отрицательной, а не положительной.

Ответ: утверждение неверно.