Номер 377, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

377. Найдите, под какими углами пересекается с осью абсцисс график функции $y = x^2 + x.$

Чтобы найти углы, под которыми график функции $y = x^2 + x$ пересекает ось абсцисс, необходимо сначала определить точки пересечения, а затем вычислить в этих точках угловые коэффициенты касательных, которые равны тангенсам искомых углов.

1. Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию к нулю:
$y = 0$
$x^2 + x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Это абсциссы точек пересечения.

2. Угол наклона касательной к графику функции в точке $x_0$ определяется как угол $\alpha$, тангенс которого равен значению производной функции в этой точке, то есть $\tan(\alpha) = y'(x_0)$.

Найдём производную функции $y = x^2 + x$:
$y' = (x^2 + x)' = 2x + 1$

3. Теперь вычислим углы для каждой точки пересечения.
Для точки $x_1 = 0$:
Находим значение производной в этой точке, чтобы получить угловой коэффициент касательной $k_1$:
$k_1 = y'(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
Тангенс угла наклона $\alpha_1$ равен $1$:
$\tan(\alpha_1) = 1$
Отсюда $\alpha_1 = \arctan(1) = 45^\circ$.

Для точки $x_2 = -1$:
Находим угловой коэффициент касательной $k_2$:
$k_2 = y'(-1) = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$
Тангенс угла наклона $\alpha_2$ равен $-1$:
$\tan(\alpha_2) = -1$
Отсюда $\alpha_2 = \arctan(-1) = 135^\circ$ (угол наклона к положительному направлению оси абсцисс).

Ответ: $45^\circ$ и $135^\circ$.