Номер 649, страница 190 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

649. *Человек приложил лупу с фокусным расстоянием $F = 20 \text{ см}$ к плоскому зеркалу и наблюдает свой глаз. Глаз аккомодирован на бесконечность. С каким угловым увеличением человек видит свой глаз по сравнению с тем, как если бы он наблюдал свой глаз через зеркало, расположенное на том же расстоянии?

Дано:

Фокусное расстояние лупы $F = 20 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$F = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Угловое увеличение $\Gamma$ при наблюдении глаза через лупу с зеркалом по сравнению с наблюдением в зеркало без лупы.

Решение:

Рассмотрим оптическую систему, состоящую из лупы, приложенной вплотную к плоскому зеркалу. Свет от глаза (объекта) проходит через лупу, отражается от зеркала и снова проходит через лупу, после чего попадает в глаз наблюдателя.

Такую систему удобно рассматривать, "развернув" путь световых лучей. Отражение в плоском зеркале эквивалентно прохождению света в зазеркальное пространство, где оптические элементы являются зеркальным отражением исходных. В нашем случае, после отражения свет снова проходит через ту же лупу. Это эквивалентно последовательному прохождению через две одинаковые линзы с фокусным расстоянием $F$, расположенные вплотную друг к другу.

Оптическая сила такой системы будет равна сумме оптических сил двух линз:

$D_{экв} = D + D = \frac{1}{F} + \frac{1}{F} = \frac{2}{F}$

Эквивалентное фокусное расстояние системы $F_{экв}$ равно:

$F_{экв} = \frac{1}{D_{экв}} = \frac{F}{2}$

Таким образом, система "лупа + зеркало" работает как одиночная собирающая линза с фокусным расстоянием $F_{экв} = F/2$.

По условию задачи, глаз аккомодирован на бесконечность. Это означает, что человек наблюдает изображение, находящееся в бесконечности. Чтобы получить изображение в бесконечности, предмет (в данном случае, глаз человека) должен находиться в фокальной плоскости оптической системы. То есть, расстояние $d$ от глаза до лупы должно быть равно эквивалентному фокусному расстоянию:

$d = F_{экв} = \frac{F}{2}$

Подставим числовое значение:

$d = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см}$

Теперь найдем угловой размер изображения, наблюдаемого через эту систему. Пусть линейный размер глаза (высота объекта) равен $h$. Угловой размер $\alpha_1$ изображения, находящегося в бесконечности, определяется по формуле:

$\alpha_1 \approx \tan(\alpha_1) = \frac{h}{F_{экв}} = \frac{h}{F/2} = \frac{2h}{F}$

Далее рассмотрим второй случай для сравнения: человек наблюдает свой глаз через зеркало, расположенное на том же расстоянии $d=F/2$.

Плоское зеркало создает мнимое изображение на том же расстоянии за зеркалом. Расстояние от глаза-объекта до зеркала равно $d$. Расстояние от зеркала до мнимого изображения также равно $d$.

Следовательно, расстояние от глаза-наблюдателя до мнимого изображения будет равно $d + d = 2d$.

Подставив значение $d=F/2$, получим расстояние до изображения: $2d = 2 \cdot \frac{F}{2} = F$.

Угловой размер $\alpha_2$ этого изображения будет равен:

$\alpha_2 \approx \tan(\alpha_2) = \frac{h}{2d} = \frac{h}{F}$

Искомое угловое увеличение $\Gamma$ — это отношение углового размера глаза при наблюдении с лупой к угловому размеру при наблюдении в зеркало без лупы:

$\Gamma = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{2h/F}{h/F} = 2$

Ответ: человек видит свой глаз с угловым увеличением в 2 раза по сравнению с наблюдением в зеркало без лупы.