Номер 644, страница 189 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

644. На рисунке 176 изображен глаз человека, рассматривающего предмет, помещенный в фокусе лупы.

А) Чему равно угловое увеличение лупы при таком ее использовании? Расстояние до предмета надо отмерять от роговицы глаза.

Б) Чему равно линейное увеличение лупы?

В) Как изменится угловой размер предмета, если при неизменном расстоянии между лупой и предметом увеличить расстояние между глазом и предметом: 1) уменьшится; 2) не изменится; 3) увеличится?

Г) Как при этом изменится угловое увеличение лупы? Ответы обоснуйте.

Рис. 176

А) Угловое увеличение лупы $M$ определяется как отношение углового размера изображения $\psi$, видимого через лупу, к угловому размеру предмета $\phi$, наблюдаемого невооруженным глазом с расстояния наилучшего зрения $D$ (стандартно принимается равным 25 см).

Когда предмет высотой $h$ находится в фокусе линзы (на расстоянии, равном фокусному расстоянию $F$), как показано на рисунке, лучи, выходящие из линзы от одной точки предмета, становятся параллельными. Глаз, расположенный за линзой, аккомодируется на бесконечность и видит мнимое, прямое, увеличенное изображение "в бесконечности". Угловой размер этого изображения равен углу $\psi$, под которым виден предмет из оптического центра линзы. Для малых углов, которые обычно рассматриваются в оптике, можно считать, что $\psi \approx \tan{\psi} = \frac{h}{F}$.

Угловой размер того же предмета при наблюдении невооруженным глазом с расстояния наилучшего зрения $D$ равен $\phi \approx \tan{\phi} = \frac{h}{D}$.

Таким образом, угловое увеличение равно:
$M = \frac{\psi}{\phi} = \frac{h/F}{h/D} = \frac{D}{F}$.

Ответ: Угловое увеличение лупы равно отношению расстояния наилучшего зрения $D$ к её фокусному расстоянию $F$, то есть $M = D/F$.

Б) Линейное увеличение линзы $m$ — это отношение линейного размера изображения $h'$ к линейному размеру предмета $h$. Оно также может быть выражено через расстояния от линзы до изображения ($d_i$) и до предмета ($d_o$) как $m = \frac{h'}{h}$. Формула тонкой линзы связывает эти величины с фокусным расстоянием $F$: $\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{F}$.

В данном случае предмет находится в фокусе, то есть $d_o = F$. Подставляя это значение в формулу линзы, получаем:
$\frac{1}{F} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{F}$
Отсюда следует, что $\frac{1}{d_i} = 0$, что означает, что изображение формируется на бесконечности ($d_i \to \infty$).

Так как изображение формируется на бесконечности, его линейный размер также бесконечно велик. Следовательно, линейное увеличение $m$ стремится к бесконечности.

Ответ: Линейное увеличение лупы равно бесконечности.

В) В условии указано, что расстояние между лупой и предметом остается неизменным, то есть предмет по-прежнему находится в фокусе линзы. При этом увеличивается расстояние между глазом и предметом, что эквивалентно увеличению расстояния между глазом и лупой.

Как было показано в пункте А, при расположении предмета в фокусе линзы выходящие из нее лучи, идущие от одной точки предмета, параллельны друг другу. Угловой размер изображения $\psi$ определяется углом наклона этих параллельных лучей к главной оптической оси. Этот угол зависит только от высоты предмета $h$ и фокусного расстояния линзы $F$ ($\psi \approx h/F$) и не зависит от положения глаза наблюдателя за линзой. Пока глаз находится на пути этих лучей, он будет видеть изображение под одним и тем же углом.

Следовательно, при увеличении расстояния между глазом и лупой угловой размер видимого предмета (точнее, его изображения) не изменится.

Ответ: 2) не изменится.

Г) Угловое увеличение лупы определяется по определению как $M = \frac{\psi}{\phi}$.

Как мы выяснили в пункте В, угловой размер изображения $\psi$, видимого через лупу, при увеличении расстояния между глазом и лупой не меняется, так как он зависит только от $h$ и $F$.

Угловой размер предмета $\phi$, наблюдаемого с расстояния наилучшего зрения $D$, является постоянной эталонной величиной для данного наблюдателя и предмета. Эта величина не зависит от манипуляций с лупой и ее положением.

Поскольку и числитель ($\psi$), и знаменатель ($\phi$) в формуле для углового увеличения остаются постоянными, само угловое увеличение $M$ также не изменится.

Ответ: Угловое увеличение лупы не изменится.