Номер 640, страница 188 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

640. *

Собирающая и рассеивающая тонкие линзы с фокусными расстояниями $F_1 = 30$ см и $|F_2| = 10$ см соответственно расположены на расстоянии $l = 20$ см друг от друга. Главные оптические оси линз совпадают. На собирающую линзу падает параллельный главной оптической оси пучок световых лучей диаметром $d_1 = 12$ мм. Определите диаметр светового пучка на расстоянии $a = 10$ см за рассеивающей линзой.

641. *

Дано:

Фокусное расстояние собирающей линзы, $F_1 = 30$ см

Фокусное расстояние рассеивающей линзы, $|F_2| = 10$ см

Расстояние между линзами, $l = 20$ см

Диаметр падающего пучка, $d_1 = 12$ мм

Расстояние за рассеивающей линзой, $a = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$F_1 = 0.3$ м

$F_2 = -0.1$ м (фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно)

$l = 0.2$ м

$d_1 = 0.012$ м

$a = 0.1$ м

Найти:

Диаметр светового пучка $d$ на расстоянии $a$ за рассеивающей линзой.

Решение:

1. Сначала определим, как пройдет пучок света через первую, собирающую линзу. Поскольку на линзу падает параллельный пучок лучей, после преломления он сойдется в заднем фокусе линзы, то есть в точке, расположенной на расстоянии $F_1 = 30$ см от нее.

2. Вторая, рассеивающая линза находится на расстоянии $l = 20$ см от первой. Так как $l < F_1$, сходящийся пучок лучей попадет на вторую линзу еще до того, как сойдется в фокусе. Таким образом, фокус первой линзы $F'_1$ является мнимым предметом для второй линзы. Расстояние от этого мнимого предмета до второй линзы будет:

$d_{o2} = l - F_1 = 20 \text{ см} - 30 \text{ см} = -10$ см

Знак «минус» подтверждает, что предмет является мнимым (лучи сходятся за линзой).

3. Теперь найдем, где вторая линза сформирует изображение. Воспользуемся формулой тонкой линзы для второй линзы, учитывая, что ее фокусное расстояние $F_2 = -10$ см:

$\frac{1}{d_{o2}} + \frac{1}{d_{i2}} = \frac{1}{F_2}$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{-10 \text{ см}} + \frac{1}{d_{i2}} = \frac{1}{-10 \text{ см}}$

Из этого уравнения следует, что $\frac{1}{d_{i2}} = 0$, а значит, расстояние до изображения $d_{i2} \to \infty$. Это означает, что после прохождения через вторую линзу пучок света станет параллельным главной оптической оси.

4. Поскольку пучок, вышедший из системы линз, параллелен, его диаметр будет постоянным на любом расстоянии за второй линзой. Следовательно, искомый диаметр $d$ равен диаметру пучка $d_2$ в плоскости второй линзы.

Для нахождения $d_2$ воспользуемся подобием треугольников. Рассмотрим крайний луч падающего пучка. Пусть $r_1 = d_1/2$ — его высота над оптической осью у первой линзы, а $r_2 = d_2/2$ — его высота у второй линзы. Треугольник, образованный оптическим центром первой линзы, точкой входа луча и фокусом $F'_1$, подобен треугольнику, образованному оптическим центром второй линзы, точкой входа луча в нее и тем же фокусом $F'_1$.

Из подобия треугольников следует:

$\frac{r_2}{F_1 - l} = \frac{r_1}{F_1}$

Выразим отсюда радиус пучка $r_2$ на второй линзе:

$r_2 = r_1 \cdot \frac{F_1 - l}{F_1}$

Подставим числовые значения ($r_1 = 12 \text{ мм} / 2 = 6$ мм):

$r_2 = 6 \text{ мм} \cdot \frac{30 \text{ см} - 20 \text{ см}}{30 \text{ см}} = 6 \text{ мм} \cdot \frac{10}{30} = 2$ мм

Тогда диаметр пучка $d$ будет:

$d = 2 \cdot r_2 = 2 \cdot 2 \text{ мм} = 4$ мм

Этот диаметр не зависит от расстояния $a$ за второй линзой, так как пучок параллелен.

Ответ: $4$ мм.