Номер 650, страница 190 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

650. Рассматривая текст, находящийся на расстоянии наилучшего зрения $d_0 = 25\text{ см}$, через рассеивающую линзу с фокусным расстоянием $F = -10\text{ см}$ ученик нашел положение линзы, при котором буквы имели наименьший угловой размер. Определите:

а) какое при этом было расстояние от предмета до линзы;

б) во сколько раз уменьшился угловой размер букв.

Дано:

$d_0 = 25$ см

$F = -10$ см

Переведем данные в систему СИ:
$d_0 = 0.25$ м
$F = -0.1$ м

Найти:

а) $d$

б) $k = \frac{\alpha_0}{\alpha_{min}}$

Решение:

Пусть текст (предмет) находится на расстоянии $d$ от линзы, а глаз наблюдателя - на расстоянии $l$ от линзы. Общее расстояние от глаза до текста постоянно и равно расстоянию наилучшего зрения $d_0$. Таким образом:

$d + l = d_0$

Рассеивающая линза создает мнимое изображение предмета. Положение этого изображения можно найти с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $d$ - расстояние от предмета до линзы, $f$ - расстояние от линзы до изображения, $F$ - фокусное расстояние. Для рассеивающей линзы $F < 0$, и изображение является мнимым, поэтому $f < 0$.

Выразим расстояние до изображения $f$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{Fd} \implies f = \frac{Fd}{d - F}$

Так как $F = -|F|$, то $f = \frac{-|F|d}{d - (-|F|)} = -\frac{|F|d}{d + |F|}$. Знак "минус" подтверждает, что изображение мнимое и находится с той же стороны от линзы, что и предмет.

Пусть высота буквы равна $h$. Тогда высота ее изображения $h'$ определяется через линейное увеличение линзы $\Gamma$:

$\Gamma = \frac{h'}{h} = \frac{|f|}{d} = \frac{|F|}{d+|F|} \implies h' = h \frac{|F|}{d+|F|}$

Изображение находится на расстоянии $|f|$ от линзы. Расстояние от этого изображения до глаза наблюдателя будет равно $D = l + |f| = (d_0 - d) + |f|$.

Угловой размер изображения $\alpha$, который видит наблюдатель, для малых углов определяется как:

$\alpha \approx \tan{\alpha} = \frac{h'}{D} = \frac{h \frac{|F|}{d+|F|}}{(d_0 - d) + \frac{|F|d}{d+|F|}} = \frac{h|F|}{(d_0 - d)(d+|F|) + |F|d} = \frac{h|F|}{d_0 d + d_0|F| - d^2 - d|F| + d|F|} = \frac{h|F|}{-d^2 + d_0 d + d_0|F|}$

Чтобы угловой размер $\alpha$ был наименьшим, знаменатель $Y(d) = -d^2 + d_0 d + d_0|F|$ должен быть наибольшим. Эта функция является параболой с ветвями, направленными вниз. Ее максимум находится в вершине, абсцисса которой вычисляется по формуле $d = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=-1$, $b=d_0$.

$d = -\frac{d_0}{2(-1)} = \frac{d_0}{2}$

а)

Найдем расстояние от предмета до линзы, при котором угловой размер букв будет наименьшим:

$d = \frac{d_0}{2} = \frac{25 \text{ см}}{2} = 12.5$ см.

Ответ: 12.5 см.

б)

Определим, во сколько раз уменьшился угловой размер. Для этого найдем отношение начального углового размера $\alpha_0$ (без линзы) к минимальному угловому размеру $\alpha_{min}$ (с линзой).

Начальный угловой размер (текст на расстоянии $d_0$ от глаза):

$\alpha_0 \approx \frac{h}{d_0}$

Минимальный угловой размер $\alpha_{min}$ достигается при $d = d_0/2$. Найдем максимальное значение знаменателя $Y_{max}$:

$Y_{max} = -(\frac{d_0}{2})^2 + d_0(\frac{d_0}{2}) + d_0|F| = -\frac{d_0^2}{4} + \frac{d_0^2}{2} + d_0|F| = \frac{d_0^2}{4} + d_0|F|$

Тогда минимальный угловой размер равен:

$\alpha_{min} = \frac{h|F|}{\frac{d_0^2}{4} + d_0|F|}$

Искомое отношение $k$ равно:

$k = \frac{\alpha_0}{\alpha_{min}} = \frac{h/d_0}{h|F|/(\frac{d_0^2}{4} + d_0|F|)} = \frac{1}{d_0} \cdot \frac{\frac{d_0^2}{4} + d_0|F|}{|F|} = \frac{d_0}{4|F|} + 1$

Подставим числовые значения. Учтем, что $|F|=|-10 \text{ см}| = 10$ см.

$k = \frac{25}{4 \cdot 10} + 1 = \frac{25}{40} + 1 = 0.625 + 1 = 1.625$

Ответ: в 1.625 раза.