Номер 655, страница 191 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

655. Минимальное расстояние, с которого дальнозоркий человек в очках с оптической силой $D = 2$ дптр четко видит удаленные предметы, $d = 50$ см. Определите минимальную оптическую силу очков, которые нужны этому человеку, чтобы он мог четко видеть предметы с расстояния наилучшего зрения $d_0 = 25$ см.

Дано:

Оптическая сила первых очков: $D_1 = 2$ дптр

Минимальное расстояние четкого зрения в первых очках: $d = 50$ см

Расстояние наилучшего зрения: $d_0 = 25$ см

Перевод в систему СИ:

$d = 0.5$ м

$d_0 = 0.25$ м

Найти:

Минимальную оптическую силу новых очков $D_2$.

Решение:

Для описания оптической системы "глаз + очки" воспользуемся формулой, связывающей оптическую силу глаза ($D_{гл}$), оптическую силу очков ($D_{оч}$), расстояние до предмета ($d_{пр}$) и оптическую силу, необходимую для фокусировки изображения на сетчатке ($D_{фокус}$):

$D_{гл} + D_{оч} = \frac{1}{d_{пр}} + D_{фокус}$

Величина $D_{фокус}$ является постоянной для конкретного глаза и соответствует оптической силе нормального глаза в расслабленном состоянии.

1. Проанализируем зрение человека в первых очках с оптической силой $D_1 = 2$ дптр. Из условия следует, что в этих очках человек четко видит удаленные предметы. При наблюдении удаленных предметов ($d_{пр} \to \infty$) глаз расслаблен, и его оптическая сила минимальна ($D_{гл, мин}$).

Подставим эти данные в формулу:

$D_{гл, мин} + D_1 = \frac{1}{\infty} + D_{фокус}$

$D_{гл, мин} + 2 \text{ дптр} = 0 + D_{фокус}$

$D_{гл, мин} = D_{фокус} - 2 \text{ дптр}$ (1)

Это означает, что оптическая сила расслабленного глаза этого человека на 2 дптр меньше, чем необходимо для четкого зрения вдаль.

2. Также по условию, минимальное расстояние четкого зрения в этих же очках составляет $d = 50$ см. Это расстояние ближней точки. При наблюдении предмета на этом расстоянии глаз аккомодирован максимально, и его оптическая сила достигает максимального значения ($D_{гл, макс}$).

Подставим эти данные в основную формулу:

$D_{гл, макс} + D_1 = \frac{1}{d} + D_{фокус}$

$D_{гл, макс} + 2 \text{ дптр} = \frac{1}{0.5 \text{ м}} + D_{фокус}$

$D_{гл, макс} + 2 \text{ дптр} = 2 \text{ дптр} + D_{фокус}$

$D_{гл, макс} = D_{фокус}$ (2)

Таким образом, мы полностью охарактеризовали глаз человека: его максимальная оптическая сила равна $D_{фокус}$, а минимальная — $D_{фокус} - 2 \text{ дптр}$.

3. Теперь найдем минимальную оптическую силу новых очков ($D_2$), которые позволят человеку четко видеть предметы на расстоянии наилучшего зрения $d_0 = 25$ см.

Для четкого видения на минимальном расстоянии для новой системы "глаз + очки" глаз снова будет аккомодирован до предела, используя свою максимальную оптическую силу $D_{гл, макс}$.

Запишем основную формулу для этого случая:

$D_{гл, макс} + D_2 = \frac{1}{d_0} + D_{фокус}$

Используя результат из уравнения (2), а именно $D_{гл, макс} = D_{фокус}$, подставим его в формулу:

$D_{фокус} + D_2 = \frac{1}{d_0} + D_{фокус}$

Отсюда получаем:

$D_2 = \frac{1}{d_0}$

Подставим числовое значение $d_0 = 0.25$ м:

$D_2 = \frac{1}{0.25 \text{ м}} = 4 \text{ дптр}$

Следовательно, чтобы читать на расстоянии 25 см, человеку потребуются очки с оптической силой 4 дптр.

Ответ: Минимальная оптическая сила очков, которые нужны этому человеку, составляет 4 дптр.